"두자연수가 서로소일 확률과 리만제타함수"의 두 판 사이의 차이

2009년 7월 9일 (목) 02:17 판

두 자연수가 소수 p를 공약수로 가질 확률은 \(\frac{1}{p^2}\)가 된다.

따라서 두 자연수가 서로소일 확률은, 모든 소수 p에 대하여 p를 공약수로 갖지 않을 확률을 곱한 것이 된다. 즉,

\(\prod_{p\text{:prime}}1-\frac{1}{p^2}=\prod_{p\text{:prime}}1-p^{-2}\)

그런데 이 녀석, 지난 글에 등장한 공식과 좀 닮아있지 않은가?

\(\zeta(s)=\prod_{p\text{:prime}}\frac{1}{1-p^{-s}}\)

이를 활용하면,

\(\prod_{p\text{:prime}}1-\frac{1}{p^2}=\frac{1}{\zeta(2)}\)

그래서 답이 나왔다.

두 자연수를 랜덤하게 뽑았을 때,둘이 서로소일 확률은

\(\frac{6}{\pi^2}\approx0.6079271\cdots\)
이 문제 어디에 도대체 원이 숨어있단 말인가?

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-문제는 바로 다음과 같다.
+*  두 자연수를 랜덤하게 뽑았을 때, 둘이 서로소일 확률<br>
+*  답은 리만제타함수의 값 <math>\zeta(2)</math> 와 관련있음.<br>
-두 자연수를 랜덤하게 뽑았을 때, 둘이 서로소일 확률은?
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 <h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">블로그</h5>
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