"란덴변환(Landen's transformation)"의 두 판 사이의 차이

수학노트
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<h5>간단한 소개</h5>
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<h5>버전1</h5>
  
 
*   [[타원적분(통합됨)|타원적분]]<br><math>K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}</math><br>
 
*   [[타원적분(통합됨)|타원적분]]<br><math>K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}</math><br>
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* 만족시키는 다음 변환 공식을 란덴 변환이라 함.
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* 다음 변환 공식을 타원적분에 대한 란덴 변환이라 함.
  
 
<math>K(\frac{2\sqrt{x}}{1+x})=(1+x)K(x)</math>
 
<math>K(\frac{2\sqrt{x}}{1+x})=(1+x)K(x)</math>
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<h5>버전2</h5>
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[[Media:|]]
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<math>I = \int _0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\sqrt{a^2 \cos^2(\theta) + b^2 \sin^2(\theta)}} \, d \theta</math>
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<h5>버전3</h5>
  
 
*  hypergeometric 급수와 타원 적분<br><math>F(a,b,c;x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(a)_k (b)_k}{(c)_k k!}x^k</math> 로 정의하면, <math>K(\sqrt{x})=\frac{\pi}{2}F(\frac{1}{2},\frac{1}{2},1;x)</math><br>
 
*  hypergeometric 급수와 타원 적분<br><math>F(a,b,c;x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(a)_k (b)_k}{(c)_k k!}x^k</math> 로 정의하면, <math>K(\sqrt{x})=\frac{\pi}{2}F(\frac{1}{2},\frac{1}{2},1;x)</math><br>
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*  란덴변환은 다음과 같이 표현됨.<br><math>F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;\frac{4x}{(1+x)^2})=(1+x)F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;x^2)</math><br>
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*  이 경우, 란덴변환은 다음과 같이 표현됨.<br><math>F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;\frac{4x}{(1+x)^2})=(1+x)F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;x^2)</math><br>
  
 
 
 
 
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<h5>란덴변환과 AGM</h5>
 
<h5>란덴변환과 AGM</h5>
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<math>K(k)=\frac{\pi}{2M(1,\sqrt{1-k^2})}</math>
  
 
 
 
 

2009년 3월 28일 (토) 11:25 판

버전1
  •  타원적분
    \(K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}\)
  • 다음 변환 공식을 타원적분에 대한 란덴 변환이라 함.

\(K(\frac{2\sqrt{x}}{1+x})=(1+x)K(x)\)

 

버전2

[[Media:|]]

\(I = \int _0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\sqrt{a^2 \cos^2(\theta) + b^2 \sin^2(\theta)}} \, d \theta\)

 

 

버전3
  • hypergeometric 급수와 타원 적분
    \(F(a,b,c;x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(a)_k (b)_k}{(c)_k k!}x^k\) 로 정의하면, \(K(\sqrt{x})=\frac{\pi}{2}F(\frac{1}{2},\frac{1}{2},1;x)\)
  • 이 경우, 란덴변환은 다음과 같이 표현됨.
    \(F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;\frac{4x}{(1+x)^2})=(1+x)F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;x^2)\)

 

 

 

란덴변환과 AGM

\(K(k)=\frac{\pi}{2M(1,\sqrt{1-k^2})}\)

 

 

 

관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들

 

 

관련된 대학원 과목

 

 

관련된 다른 주제들

 

표준적인 도서 및 추천도서

 

위키링크

 

 

참고할만한 자료
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