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<math>F(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{f(n)}{n^s}</math>
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<math>F(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{f(n)}{n^s}</math> 라 하자.
  
 
<math>\Gamma(s)F(s)=\int_0^{\infty}(\sum_{n=1}^{\infty}f(n)e^{-nt})t^{s-1}\,dt</math><math>z=e^{-t}</math> 로 치환하면,
 
<math>\Gamma(s)F(s)=\int_0^{\infty}(\sum_{n=1}^{\infty}f(n)e^{-nt})t^{s-1}\,dt</math><math>z=e^{-t}</math> 로 치환하면,
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<math>f(n+q)=f(n)</math> 을 만족하면 (가령 디리클레 캐릭터의 경우)
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만약 <math>f(n+q)=f(n)</math> 을 만족하면 (가령 디리클레 캐릭터의 경우)
  
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<math>\sum_{n=1}^{\infty}f(n)z^n=\frac{p(z)}{1-z^q}</math>
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<math>p(z)=\sum_{n=1}^{q-1}f(n)z^n</math>라면,  <math>\sum_{n=1}^{\infty}f(n)z^n=\frac{p(z)}{1-z^q}</math> 로 쓸 수 있다.
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여기서 <math>p(z)=\sum_{n=1}^{q-1}f(n)z^n</math>
 
  
 
 
 
 
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<math>\frac{d}{ds}\Gamma(s)F(s)=\int_0^{1}\frac{p(z)(\log\frac{1}{z})^{s-1}}{1-z^q}\log \log\frac{1}{z} \,\frac{dz}{z}</math>
 
<math>\frac{d}{ds}\Gamma(s)F(s)=\int_0^{1}\frac{p(z)(\log\frac{1}{z})^{s-1}}{1-z^q}\log \log\frac{1}{z} \,\frac{dz}{z}</math>
  
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<math>s=1</math> 이면,
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<math>s=1</math> 에서 <math>F(s)</math>가  미분가능하다면, 
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<math>F'(1)-\gamma F(1)=\int_0^{1}p(z)\log \log\frac{1}{z} \,\frac{dz}{z}</math>
 
  
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<math>F'(1)-\gamma F(1)=\int_0^{1}p(z)\log \log\frac{1}{z} \,\frac{dz}{z}</math><math>F'(1)-\gamma F(1)=\int_0^{1}\frac{p(z)}{1-z^q}\log \log\frac{1}{z} \,\frac{dz}{z}</math>
  
 
<math>f</math>가 <math>f(3)=-1</math>인 주기가 4인 디리클레 캐릭터라고 하면, <math>p(z)=z-z^3</math> 
 
<math>f</math>가 <math>f(3)=-1</math>인 주기가 4인 디리클레 캐릭터라고 하면, <math>p(z)=z-z^3</math> 
  
 
<math>L(s) = \sum_{n\geq 1}\frac{f(n)}{n^s}</math>
 
<math>L(s) = \sum_{n\geq 1}\frac{f(n)}{n^s}</math>
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<math>F'(1)-\gamma F(1)=\int_0^{1}p(z)\log \log\frac{1}{z} \,\frac{dz}{z}</math>
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2009년 9월 5일 (토) 18:13 판

간단한 소개

 

\(\int_{\pi/4}^{\pi/2} \ln \ln \tan x\, dx=\frac{\pi}{2}\ln{\frac{\Gamma(\frac{3}{4})}{\Gamma(\frac{1}{4})}\sqrt{2\pi}\)

 

 

 

\(\int_{\pi/4}^{\pi/2} \ln \ln \tan x\, dx=\frac{d}{ds}\Gamma(s)L(s)|_{s=1}\)

 

 

\(F(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{f(n)}{n^s}\) 라 하자.

\(\Gamma(s)F(s)=\int_0^{\infty}(\sum_{n=1}^{\infty}f(n)e^{-nt})t^{s-1}\,dt\)\(z=e^{-t}\) 로 치환하면,

\(\Gamma(s)F(s)=\int_0^{1}(\sum_{n=1}^{\infty}f(n)z^n)(\log\frac{1}{z})^{s-1}\,\frac{dz}{z}\)

 

만약 \(f(n+q)=f(n)\) 을 만족하면 (가령 디리클레 캐릭터의 경우)

\(p(z)=\sum_{n=1}^{q-1}f(n)z^n\)라면,  \(\sum_{n=1}^{\infty}f(n)z^n=\frac{p(z)}{1-z^q}\) 로 쓸 수 있다.

 

이를 이용하면, 

\(\Gamma(s)F(s)=\int_0^{1}\frac{p(z)(\log\frac{1}{z})^{s-1}}{1-z^q}\,\frac{dz}{z}\) 를 얻는다.

 

\(\frac{d}{ds}\Gamma(s)F(s)=\int_0^{1}\frac{p(z)(\log\frac{1}{z})^{s-1}}{1-z^q}\log \log\frac{1}{z} \,\frac{dz}{z}\)

\(s=1\) 에서 \(F(s)\)가  미분가능하다면, 

\(F'(1)-\gamma F(1)=\int_0^{1}p(z)\log \log\frac{1}{z} \,\frac{dz}{z}\)\(F'(1)-\gamma F(1)=\int_0^{1}\frac{p(z)}{1-z^q}\log \log\frac{1}{z} \,\frac{dz}{z}\)

\(f\)가 \(f(3)=-1\)인 주기가 4인 디리클레 캐릭터라고 하면, \(p(z)=z-z^3\) 

\(L(s) = \sum_{n\geq 1}\frac{f(n)}{n^s}\)

\(F'(1)-\gamma F(1)=\int_0^{1}p(z)\log \log\frac{1}{z} \,\frac{dz}{z}\)

 

 

 

 

 

Gradshteyn and Ryzhik

http://www.math.tulane.edu/~vhm/Table.html

 

 

The integrals in Gradshteyn and Ryzhik. Part 1: A family of logarithmic integrals.

[1]Victor H. Moll

 

 

란덴변환(Landen's transformation)

 

 

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