"루트 시스템 (root system)과 딘킨 다이어그램 (Dynkin diagram)"의 두 판 사이의 차이
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| − | <h5 style="line-height: 3.428em; margin | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소</h5> |
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| − | <h5 style="line-height: 3.428em; margin | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">개요</h5> |
| − | * 루트 시스템은 유한차원 유클리드 벡터공간에서 여러가지 조건들을 만족시키는 벡터들의 모임이다<br> | + | * 루트 시스템은 유한차원 유클리드 벡터공간에서 여러가지 조건들을 만족시키는 벡터들의 모임이다<br> <br> |
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* [[리군과 리대수 (교과)|리군과 리대수]]의 분류, 격자의 분류, [[유한반사군과 콕세터군(finite reflection groups and Coxeter groups)]] 등에서 중요하게 활용<br> | * [[리군과 리대수 (교과)|리군과 리대수]]의 분류, 격자의 분류, [[유한반사군과 콕세터군(finite reflection groups and Coxeter groups)]] 등에서 중요하게 활용<br> | ||
* [[1938012|딘킨 다이어그램의 분류]]<br> | * [[1938012|딘킨 다이어그램의 분류]]<br> | ||
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| − | <h5 style="line-height: 2em; margin | + | <h5 style="line-height: 2em; margin: 0px;">정의</h5> |
* E를 [[내적공간|내적]]이 주어진 유클리드 벡터공간이라 하자. | * E를 [[내적공간|내적]]이 주어진 유클리드 벡터공간이라 하자. | ||
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** <math>\langle \beta, \alpha \rangle = 2 \frac{(\beta,\alpha)}{(\alpha,\alpha)} \in \mathbb{Z}</math> | ** <math>\langle \beta, \alpha \rangle = 2 \frac{(\beta,\alpha)}{(\alpha,\alpha)} \in \mathbb{Z}</math> | ||
* 마지막 조건을 crystallographic조건이라 한다 | * 마지막 조건을 crystallographic조건이라 한다 | ||
| + | * a subgroup of <math>GL(V)</math> is crystallographic if it stabilizes a lattice L in V<br> | ||
| + | * e.g. the Weyl group of a Lie algebra stabilizes the root lattice or the weight lattice | ||
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| − | <h5 style="line-height: | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">딘킨 다이어그램 (Dynkin diagram)</h5> |
| − | * <math> | + | * first draw the simple roots as nodes |
| + | * draw <math>4(e_i, e_j)^2</math>lines for two roots <math>e_i, e_j</math><br><math>\frac{\pi}{2}</math> , <math>\frac{\pi}{3}</math>, <math>\frac{\pi}{4}</math>, <math>\frac{\pi}{6}</math><br> 0,1,2,3 lines<br> | ||
| + | * how to classify all connected admissible diagrams<br> | ||
| + | ** subdiagram is also admissible | ||
| + | ** there are at most (n-1) pairs of nodes | ||
| + | ** no node has more than 3 lines | ||
| + | ** study double lines and triple nodes | ||
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| + | <h5 style="line-height: 2em; margin: 0px;">2차원 루트 시스템의 분류</h5> | ||
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| + | * <math>A_1\times A_1</math>, <math>A_2</math>, <math>B_2</math>, <math>G_2</math><br> | ||
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| + | A1 x A1 | ||
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| + | [http://www.wolframalpha.com/input/?i=r%3D1%2Bcos+%284theta%29 http://www.wolframalpha.com/input/?i=r%3D1%2Bcos+(4theta)] | ||
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| + | A2 | ||
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| + | [http://www.wolframalpha.com/input/?i=r%3D1%2B+cos+%286theta%29 http://www.wolframalpha.com/input/?i=r%3D1%2B+cos+(6theta)] | ||
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| + | B2 | ||
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| + | [http://www.wolframalpha.com/input/?i=r%3D1-+%28sqrt2+%2B1%29%5E2+cos+%284theta%29 http://www.wolframalpha.com/input/?i=r%3D1-+(sqrt2+%2B1)^2+cos+(4theta)] | ||
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| + | G2 | ||
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| + | [http://www.wolframalpha.com/input/?i=r%3D1-%28sqrt+3+%2B1%29%5E2cos+%286theta%29/2 http://www.wolframalpha.com/input/?i=r%3D1-(sqrt+3+%2B1)^2cos+(6theta)/2] | ||
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| + | http://en.wikipedia.org/wiki/Root_system | ||
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| + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">재미있는 사실</h5> | ||
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| − | <h5 style="line-height: 3.428em; margin | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">역사</h5> |
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| − | <h5 style="line-height: 3.428em; margin | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">메모</h5> |
| + | |||
| + | * reflection groups | ||
| + | * lie algebras | ||
| + | * Lie groups | ||
| + | * algebraic groups | ||
| + | * surfaces singularities | ||
| + | * quiver | ||
| + | * Platonic Solids | ||
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| − | <h5 style="line-height: 3.428em; margin | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련된 항목들</h5> |
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| − | <h5 style="line-height: 3.428em; margin | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">수학용어번역</h5> |
* 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q= | * 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q= | ||
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| − | <h5 style="line-height: 3.428em; margin | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">사전 형태의 자료</h5> |
| − | * http://ko.wikipedia.org/wiki/ | + | * [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%A6%AC%EB%8C%80%EC%88%98 http://ko.wikipedia.org/wiki/리대수] |
* http://en.wikipedia.org/wiki/root_systems | * http://en.wikipedia.org/wiki/root_systems | ||
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* http://www.wolframalpha.com/input/?i= | * http://www.wolframalpha.com/input/?i= | ||
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions] | * [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions] | ||
| − | * [http://www.research.att.com/ | + | * [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]<br> |
** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q= | ** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q= | ||
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| − | <h5 style="line-height: 3.428em; margin | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련논문</h5> |
| + | * [http://www.jstor.org/stable/2324217 Two Amusing Dynkin Diagram Graph Classifications]<br> | ||
| + | ** Robert A. Proctor, <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 100, No. 10 (Dec., 1993), pp. 937-941 | ||
* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query= | * http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query= | ||
* http://www.ams.org/mathscinet | * http://www.ams.org/mathscinet | ||
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| − | <h5 style="line-height: 3.428em; margin | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련도서</h5> |
* 도서내검색<br> | * 도서내검색<br> | ||
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| − | <h5 style="line-height: 3.428em; margin | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련기사</h5> |
* 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)<br> | * 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)<br> | ||
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| − | <h5 style="line-height: 3.428em; margin | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">블로그</h5> |
* 구글 블로그 검색<br> | * 구글 블로그 검색<br> | ||
2010년 8월 19일 (목) 00:24 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
개요
- 루트 시스템은 유한차원 유클리드 벡터공간에서 여러가지 조건들을 만족시키는 벡터들의 모임이다
- 리군과 리대수의 분류, 격자의 분류, 유한반사군과 콕세터군(finite reflection groups and Coxeter groups) 등에서 중요하게 활용
- 딘킨 다이어그램의 분류
정의
- E를 내적이 주어진 유클리드 벡터공간이라 하자.
- 다음 조건을 만족시키는 E의 유한인 부분집합 \(\Phi\)를 루트 시스템이라 한다.
- \(\Phi\)는 E를 스팬(span)하며 \(0 \not \in \Phi\)
- \(\alpha \in \Phi\), \(\lambda \alpha \in \Phi \iff \lambda=\pm 1\)
- \(\alpha,\beta \in \Phi\)이면 \(\sigma_\alpha(\beta) =\beta-2\frac{(\beta,\alpha)}{(\alpha,\alpha)}\alpha \in \Phi\)
- \(\langle \beta, \alpha \rangle = 2 \frac{(\beta,\alpha)}{(\alpha,\alpha)} \in \mathbb{Z}\)
- 마지막 조건을 crystallographic조건이라 한다
- a subgroup of \(GL(V)\) is crystallographic if it stabilizes a lattice L in V
- e.g. the Weyl group of a Lie algebra stabilizes the root lattice or the weight lattice
딘킨 다이어그램 (Dynkin diagram)
- first draw the simple roots as nodes
- draw \(4(e_i, e_j)^2\)lines for two roots \(e_i, e_j\)
\(\frac{\pi}{2}\) , \(\frac{\pi}{3}\), \(\frac{\pi}{4}\), \(\frac{\pi}{6}\)
0,1,2,3 lines - how to classify all connected admissible diagrams
- subdiagram is also admissible
- there are at most (n-1) pairs of nodes
- no node has more than 3 lines
- study double lines and triple nodes
2차원 루트 시스템의 분류
- \(A_1\times A_1\), \(A_2\), \(B_2\), \(G_2\)
A1 x A1
http://www.wolframalpha.com/input/?i=r%3D1%2Bcos+(4theta)
A2
http://www.wolframalpha.com/input/?i=r%3D1%2B+cos+(6theta)
B2
http://www.wolframalpha.com/input/?i=r%3D1-+(sqrt2+%2B1)^2+cos+(4theta)
G2
http://www.wolframalpha.com/input/?i=r%3D1-(sqrt+3+%2B1)^2cos+(6theta)/2
http://en.wikipedia.org/wiki/Root_system
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[/pages/2696052/attachments/2088317 MSP98119772g2ig5gid8he000031i1h30a8gacdi00.gif]
재미있는 사실
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
- 네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=
역사
메모
- reflection groups
- lie algebras
- Lie groups
- algebraic groups
- surfaces singularities
- quiver
- Platonic Solids
관련된 항목들
수학용어번역
- 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=
- 발음사전 http://www.forvo.com/search/
- 대한수학회 수학 학술 용어집
- 남·북한수학용어비교
- 대한수학회 수학용어한글화 게시판
사전 형태의 자료
- http://en.wikipedia.org/wiki/root_systems
- http://en.wikipedia.org/wiki/Dynkin_diagram
- http://en.wikipedia.org/wiki/Coxeter_number
- http://en.wikipedia.org/wiki/
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
관련논문
- Two Amusing Dynkin Diagram Graph Classifications
- Robert A. Proctor, The American Mathematical Monthly, Vol. 100, No. 10 (Dec., 1993), pp. 937-941
- http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
- http://www.ams.org/mathscinet
- http://dx.doi.org/
관련도서
- 도서내검색
- 도서검색
관련기사
- 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)