"루트 시스템 (root system)과 딘킨 다이어그램 (Dynkin diagram)"의 두 판 사이의 차이
둘러보기로 가기
검색하러 가기
Pythagoras0 (토론 | 기여) 잔글 (찾아 바꾸기 – “</h5>” 문자열을 “==” 문자열로) |
Pythagoras0 (토론 | 기여) 잔글 (찾아 바꾸기 – “<h5 (.*)">” 문자열을 “==” 문자열로) |
||
| 1번째 줄: | 1번째 줄: | ||
| − | + | ==이 항목의 스프링노트 원문주소== | |
* [[루트 시스템 (root system)과 딘킨 다이어그램 (Dynkin diagram)]]<br> | * [[루트 시스템 (root system)과 딘킨 다이어그램 (Dynkin diagram)]]<br> | ||
| 7번째 줄: | 7번째 줄: | ||
| − | + | ==개요== | |
* 루트 시스템은 유한차원 유클리드 벡터공간에서 여러가지 조건들을 만족시키는 벡터들의 모임이다<br> | * 루트 시스템은 유한차원 유클리드 벡터공간에서 여러가지 조건들을 만족시키는 벡터들의 모임이다<br> | ||
| 20번째 줄: | 20번째 줄: | ||
| − | + | ==정의== | |
* E를 [[내적공간|내적]]이 주어진 유클리드 벡터공간이라 하자. | * E를 [[내적공간|내적]]이 주어진 유클리드 벡터공간이라 하자. | ||
| 36번째 줄: | 36번째 줄: | ||
| − | + | ==딘킨 다이어그램 (Dynkin diagram)== | |
* first draw the simple roots as nodes | * first draw the simple roots as nodes | ||
| 47번째 줄: | 47번째 줄: | ||
| − | + | ==2차원 루트 시스템의 분류== | |
* <math>A_1\times A_1</math>, <math>A_2</math>, <math>B_2</math>, <math>G_2</math><br> | * <math>A_1\times A_1</math>, <math>A_2</math>, <math>B_2</math>, <math>G_2</math><br> | ||
| 83번째 줄: | 83번째 줄: | ||
| − | + | ==ADE 의 분류== | |
(0) G cannot contain affine A_n, D_n, E_n | (0) G cannot contain affine A_n, D_n, E_n | ||
| 133번째 줄: | 133번째 줄: | ||
| − | + | ==reflection groups== | |
* B_n, C_n, BC_n -> same reflection group (Z/nZ).S_n<br> | * B_n, C_n, BC_n -> same reflection group (Z/nZ).S_n<br> | ||
| 144번째 줄: | 144번째 줄: | ||
| − | + | ==역사== | |
| 156번째 줄: | 156번째 줄: | ||
| − | + | ==메모== | |
* <math>\bullet - \bullet</math><br> | * <math>\bullet - \bullet</math><br> | ||
| 172번째 줄: | 172번째 줄: | ||
| − | + | ==관련된 항목들== | |
| 178번째 줄: | 178번째 줄: | ||
| − | + | ==수학용어번역== | |
* 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q= | * 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q= | ||
| 191번째 줄: | 191번째 줄: | ||
| − | + | ==사전 형태의 자료== | |
* [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%A6%AC%EB%8C%80%EC%88%98 http://ko.wikipedia.org/wiki/리대수] | * [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%A6%AC%EB%8C%80%EC%88%98 http://ko.wikipedia.org/wiki/리대수] | ||
| 203번째 줄: | 203번째 줄: | ||
| − | + | ==관련논문== | |
* [http://www.jstor.org/stable/2324217 Two Amusing Dynkin Diagram Graph Classifications] Robert A. Proctor, <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 100, No. 10 (Dec., 1993), pp. 937-941 | * [http://www.jstor.org/stable/2324217 Two Amusing Dynkin Diagram Graph Classifications] Robert A. Proctor, <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 100, No. 10 (Dec., 1993), pp. 937-941 | ||
2012년 11월 1일 (목) 13:26 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
개요
- 루트 시스템은 유한차원 유클리드 벡터공간에서 여러가지 조건들을 만족시키는 벡터들의 모임이다
- non-zero eigenvalues of Cartan subalgebra
- non-zero eigenvalues of Cartan subalgebra
- 리군과 리대수의 분류, 격자의 분류, 유한반사군과 콕세터군(finite reflection groups and Coxeter groups) 등에서 중요하게 활용
- 딘킨 다이어그램은 루트 시스템을 표현하는 그래프이다
정의
- E를 내적이 주어진 유클리드 벡터공간이라 하자.
- 다음 조건을 만족시키는 E의 유한인 부분집합 \(\Phi\)를 루트 시스템이라 한다.
- \(\Phi\)는 E를 스팬(span)하며 \(0 \not \in \Phi\)
- (reduced) \(\alpha \in \Phi\), \(\lambda \alpha \in \Phi \iff \lambda=\pm 1\)
- \(\alpha,\beta \in \Phi\)이면 \(\sigma_\alpha(\beta) =\beta-2\frac{(\beta,\alpha)}{(\alpha,\alpha)}\alpha \in \Phi\)
- \(\langle \beta, \alpha \rangle = 2 \frac{(\beta,\alpha)}{(\alpha,\alpha)} \in \mathbb{Z}\)
- 마지막 조건을 crystallographic 또는 integraliy 조건이라 한다
- a subgroup of \(GL(V)\) is crystallographic if it stabilizes a lattice L in V
- e.g. the Weyl group of a Lie algebra stabilizes the root lattice or the weight lattice
딘킨 다이어그램 (Dynkin diagram)
- first draw the simple roots as nodes
- draw \(4(e_i, e_j)^2\)lines for two roots \(e_i, e_j\)
\(\frac{\pi}{2}\) , \(\frac{\pi}{3}\), \(\frac{\pi}{4}\), \(\frac{\pi}{6}\)
0,1,2,3 lines
2차원 루트 시스템의 분류
- \(A_1\times A_1\), \(A_2\), \(B_2\), \(G_2\)
A1 x A1
http://www.wolframalpha.com/input/?i=r%3D1%2Bcos+(4theta)
A2
http://www.wolframalpha.com/input/?i=r%3D1%2B+cos+(6theta)
B2
http://www.wolframalpha.com/input/?i=r%3D1-+(sqrt2+%2B1)^2+cos+(4theta)
G2
http://www.wolframalpha.com/input/?i=r%3D1-(sqrt+3+%2B1)^2cos+(6theta)/2
[/pages/2696052/attachments/2088323 MSP45719773453e5409bcd000043c1iebh17cda58g.gif]
[/pages/2696052/attachments/2088321 MSP402197733f5dbe80g5d000056hb767e4digb412.gif]
[/pages/2696052/attachments/2088319 MSP132719772cfcfe659i75000064ieda8fh9d30h5e.gif]
[/pages/2696052/attachments/2088317 MSP98119772g2ig5gid8he000031i1h30a8gacdi00.gif]
ADE 의 분류
(0) G cannot contain affine A_n, D_n, E_n
(1) G is a tree (contains no cycles = affine A_n)
(2) G has \leq 1 branch point (does not contain affine D_5, D_6,D_7, )
(3) branch point has order \leq 3 (affine D_4)
What are length of legs of G?
Leg of length 0 -> G=A_n
so assume legs have length \geq 1
(4) Not all legs have length \geq 2 : cannot contain affine E_6
so one leg has length 1
2 legs of length 1 : G is D_n
so can assume 2 other legs have length \geq 2
(5) cannot have 2 legs length \geq 3 because of affine E_7
So G has 1 leg length 1, 1 of length 2, one of length \geq 2
length is \leq 4, as G does not contain affine E_8
So G is E6,E7, E8
일반적인 경우
- how to classify all connected admissible diagrams
- subdiagram is also admissible
- there are at most (n-1) pairs of nodes
- no node has more than 3 lines
- study double lines and triple nodes
reflection groups
- B_n, C_n, BC_n -> same reflection group (Z/nZ).S_n
-
역사
메모
- \(\bullet - \bullet\)
- http://demonstrations.wolfram.com/2DRootSystems/
- reflection groups
- lie algebras
- Lie groups
- algebraic groups
- surfaces singularities
- quiver
- Platonic Solids
관련된 항목들
수학용어번역
- 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=
- 발음사전 http://www.forvo.com/search/
- 대한수학회 수학 학술 용어집
- 남·북한수학용어비교
- 대한수학회 수학용어한글화 게시판
사전 형태의 자료
- http://en.wikipedia.org/wiki/root_systems
- http://en.wikipedia.org/wiki/Dynkin_diagram
- http://en.wikipedia.org/wiki/Coxeter_number
관련논문
- Two Amusing Dynkin Diagram Graph Classifications Robert A. Proctor, The American Mathematical Monthly, Vol. 100, No. 10 (Dec., 1993), pp. 937-941
- http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
- http://www.ams.org/mathscinet
- http://dx.doi.org/