뫼비우스 반전공식

이 항목의 수학노트 원문주소

• 뫼비우스 반전공식

 

 

==개요

 

 

 

==뫼비우스 함수

• poset \(V\)에 대하여 다음 세 조건을 만족시키는 함수 \(\mu : V\times V \to R\) (R은 commutative ring with unity) 를 poset의 뫼비우스 함수라 부른다
  \(\mu(x,x)=1\)
  \(x<z\) 일 때, \(\sum_{x\leq y \leq z} \mu(x,y)=0\) (또는 \(\mu(x,z)=-\sum_{x\leq y < z} \mu(x,y)\)
  이외의 경우에는 \(\mu(x,y) = 0\)
  
• Z행렬의 역행렬
• 수론적 함수(산술함수, arithmetic function) 의 뫼비우스 함수는 자연수 집합에 약수 관계로 정의되는 poset에 대한 뫼비우스 함수이다

 

 

 

==뫼비우스 반전공식

• poset \(V\)에 정의된 함수 \(f : V \to R, g : V \to R\) 를 생각하자.
  \(g(x)=\sum_{z \leq x} f(z)\) 이면 \(f(x)=\sum_{z \leq x} \mu(z,x)g(z)\) 가 성립한다.
  
• 쌍대 공식
  \(g(x)=\sum_{z \geq x} f(z)\) 이면 \(f(x)=\sum_{z \geq x} \mu(z,x)g(z)\) 가 성립한다.

 

 

 

==응용

• 이항계수의 반전공식

 

 

==포함과 배제의 원리

• 포함과 배제의 원리

집합 A의 부분집합 \(A_i\)에 대하여 다음이 성립한다.

\(\biggl|\bigcup_{i=1}^n A_i\biggr| & {} =\sum_{i=1}^n\left|A_i\right|-\sum_{i,j\,:\,1 \le i < j \le n}\left|A_i\cap A_j\right| +\sum_{i,j,k\,:\,1 \le i < j < k \le n}\left|A_i\cap A_j\cap A_k\right|-\ \cdots\ + \left(-1\right)^{n-1} \left|A_1\cap\cdots\cap A_n\right|\)

 

 

\(\{1,2,\cdots,n\}\) 의 부분집합과 포함관계에 대한 poset 을 생각하자. 뫼비우스 함수는 \(\mu(S,T)=(-1)^{\left|T\setminus S\right|}\) 로 주어진다.

 

\(f(V)=|\underset{i\in V}{\cap }A_i|\)

\(g(V)=\left|\left\{a\in A \left| a\in A_i\forall i\in V\right.; a\notin A_j\forall j\notin V\right\}\right|\)

\(f(V)=\sum _{V\subseteq T} g(T)\) 이 성립한다.

뫼비우스 반전공식(쌍대)을 적용하면, 다음을 얻는다.

\(|A-\underset{i\in {1,2,\cdots,n}}{\cup }A_i|=g(\emptyset)=\sum _{\emptyset\subseteq T}\mu(\emptyset,T)f(T)=\sum _{T}(-1)^{|T|} f(T)\)

즉

\(|A-\underset{i\in {1,2,\cdots,n}}{\cup }A_i|=|A|-(\sum_{i=1}^n\left|A_i\right|-\sum_{i,j\,:\,1 \le i < j \le n}\left|A_i\cap A_j\right| +\sum_{i,j,k\,:\,1 \le i < j < k \le n}\left|A_i\cap A_j\cap A_k\right|-\ \cdots\ + \left(-1\right)^{n-1} \left|A_1\cap\cdots\cap A_n\right|)\)

 

 

==역사

• M¨obius Inversion Theorem or MIT, Weisner (1935))
• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
• 수학사연표

 

 

==메모

• A Mathematica Package for Studying Posets
  
• AN INTRODUCTION TO THE MOEBIUS FUNCTION http://quoll.uwaterloo.ca/mine/Notes/moebius.pdf
• http://www.plu.edu/~edgartj/posetMobius.pdf
• http://www.mth.msu.edu/~sagan/Slides/mfp2.pdf
• Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=

 

 

==관련된 항목들

 

 

수학용어번역

• 단어사전
  
  • http://translate.google.com/#en%7Cko%7C
  • http://ko.wiktionary.org/wiki/
• 발음사전 http://www.forvo.com/search/
• 대한수학회 수학 학술 용어집
  
  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
• 한국통계학회 통계학 용어 온라인 대조표
• 남·북한수학용어비교
• 대한수학회 수학용어한글화 게시판

 

 

==사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/Incidence_algebra
• The Online Encyclopaedia of Mathematics
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• The World of Mathematical Equations

 

 

==리뷰논문, 에세이, 강의노트

 

 

 

==관련논문

• E. A. Bender and J. R. Goldman On the Applications of Mobius Inversion in Combinatorial Analysis www.jstor.org/stable/2319793
• http://www-math.mit.edu/~rstan/pubs/pubfiles/28.pdf
• http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
• http://www.ams.org/mathscinet
• http://dx.doi.org/

 

 

==관련도서

• 도서내검색
  
  • http://books.google.com/books?q=
  • http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=