"이차형식 x^2+5y^2"의 두 판 사이의 차이

2020년 12월 28일 (월) 03:51 기준 최신판

개요

\(K=\mathbb{Q}(\sqrt{-5})\)
판별식 d=-20
class number h=2
- 기약형식 \({x^2+5 y^2,2 x^2+2 x y+3 y^2}\)
타원 모듈라 j-함수 (j-invariant)\[ j(\sqrt{-5})=632000+282880 \sqrt{5}=(50+26\sqrt{5})^3\]\[j(\frac {-1+\sqrt{-5}}{2})=632000-282880 \sqrt{5}=(50-26\sqrt{5})^3\]
힐버트 class field \(K(\sqrt{5})=\mathbb{Q}(\sqrt{-5},\sqrt{5})\)

\(x^2+5y^2\)로 표현되는 400까지의 소수

5, 29, 41, 61, 89, 101, 109, 149, 181, 229, 241, 269, 281, 349, 389

20으로 나눈 나머지가 1이나 9인 400까지의 소수

29, 41, 61, 89, 101, 109, 149, 181, 229, 241, 269, 281, 349, 389

\(x^2+2 x y+3 y^2\)로 표현되는 400까지의 소수

2, 3, 7, 23, 43, 47, 67, 83, 103, 107, 127, 163, 167, 223, 227, 263, 283, 307, 347, 367, 383

20으로 나눈 나머지가 3이나 7인 400까지의 소수

3, 7, 23, 43, 47, 67, 83, 103, 107, 127, 163, 167, 223, 227, 263, 283, 307, 347, 367, 383

\(x^2-5 \pmod p\) 의 분해

20으로 나눈 나머지가 1,3,7,9인 소수 p에 대한 \(x^2-5 \pmod p\)의 분해
나머지가 1 또는 9인 경우에만 일차식으로 분해됨을 볼 수 있음
class field theory에 의해 예측할 수 있는 사실
다음 목록은 "소수p, p를 20으로 나눈 나머지, 다항식 x^2-5의 mod p분해"

3=3 mod 20, x^2-5=1+x^2 mod 3 7=7 mod 20, x^2-5=2+x^2 mod 7 23=3 mod 20, x^2-5=18+x^2 mod 23 29=9 mod 20, x^2-5=(11+x)(18+x) mod 29 41=1 mod 20, x^2-5=(13+x)(28+x) mod 41 43=3 mod 20, x^2-5=38+x^2 mod 43 47=7 mod 20, x^2-5=42+x^2 mod 47 61=1 mod 20, x^2-5=(26+x)(35+x) mod 61 67=7 mod 20, x^2-5=62+x^2 mod 67 83=3 mod 20, x^2-5=78+x^2 mod 83 89=9 mod 20, x^2-5=(19+x)(70+x) mod 89 101=1 mod 20, x^2-5=(45+x)(56+x) mod 101 103=3 mod 20, x^2-5=98+x^2 mod 103 107=7 mod 20, x^2-5=102+x^2 mod 107 109=9 mod 20, x^2-5=(21+x)(88+x) mod 109 127=7 mod 20, x^2-5=122+x^2 mod 127 149=9 mod 20, x^2-5=(68+x)(81+x) mod 149 163=3 mod 20, x^2-5=158+x^2 mod 163 167=7 mod 20, x^2-5=162+x^2 mod 167 181=1 mod 20, x^2-5=(27+x)(154+x) mod 181 223=3 mod 20, x^2-5=218+x^2 mod 223 227=7 mod 20, x^2-5=222+x^2 mod 227 229=9 mod 20, x^2-5=(66+x)(163+x) mod 229 241=1 mod 20, x^2-5=(103+x)(138+x) mod 241 263=3 mod 20, x^2-5=258+x^2 mod 263 269=9 mod 20, x^2-5=(126+x)(143+x) mod 269 281=1 mod 20, x^2-5=(75+x)(206+x) mod 281 283=3 mod 20, x^2-5=278+x^2 mod 283 307=7 mod 20, x^2-5=302+x^2 mod 307 347=7 mod 20, x^2-5=342+x^2 mod 347 349=9 mod 20, x^2-5=(62+x)(287+x) mod 349 367=7 mod 20, x^2-5=362+x^2 mod 367 383=3 mod 20, x^2-5=378+x^2 mod 383 389=9 mod 20, x^2-5=(86+x)(303+x) mod 389

역사

수학사 연표

메모

매스매티카 파일 및 계산 리소스

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-<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소</h5>
+==개요==
-<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">개요</h5>
 * <math>K=\mathbb{Q}(\sqrt{-5})</math>
 * 판별식 d=-20
-* class number h=2
+*  class number h=2
-* 기약형식 <math>{x^2+5 y^2,2 x^2+2 x y+3 y^2}</math>
+** 기약형식 <math>{x^2+5 y^2,2 x^2+2 x y+3 y^2}</math>
+* [[타원 모듈라 j-함수 (elliptic modular function, j-invariant)|타원 모듈라 j-함수 (j-invariant)]]:<math> j(\sqrt{-5})=632000+282880 \sqrt{5}=(50+26\sqrt{5})^3</math>:<math>j(\frac {-1+\sqrt{-5}}{2})=632000-282880 \sqrt{5}=(50-26\sqrt{5})^3</math>
 * 힐버트 class field <math>K(\sqrt{5})=\mathbb{Q}(\sqrt{-5},\sqrt{5})</math>
-<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;"><math>x^2+5y^2</math>로 표현되는 400까지의 소수</h5>
+==<math>x^2+5y^2</math>로 표현되는 400까지의 소수==
-*  5, 29, 41, 61, 89, 101, 109, 149, 181, 229, 241, 269, 281, 349, 389<br>
+*  5, 29, 41, 61, 89, 101, 109, 149, 181, 229, 241, 269, 281, 349, 389
-<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">20으로 나눈 나머지가 1이나 9인 400까지의 소수</h5>
+==20으로 나눈 나머지가 1이나 9인 400까지의 소수==
-*   <br> 29, 41, 61, 89, 101, 109, 149, 181, 229, 241, 269, 281, 349, 389<br>
+*  29, 41, 61, 89, 101, 109, 149, 181, 229, 241, 269, 281, 349, 389
-<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;"><math>x^2+2 x y+3 y^2</math>로 표현되는 400까지의 소수</h5>
+==<math>x^2+2 x y+3 y^2</math>로 표현되는 400까지의 소수==
-*  2, 3, 7, 23, 43, 47, 67, 83, 103, 107, 127, 163, 167, 223, 227, 263, 283, 307, 347, 367, 383<br>
+*  2, 3, 7, 23, 43, 47, 67, 83, 103, 107, 127, 163, 167, 223, 227, 263, 283, 307, 347, 367, 383
-<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">20으로 나눈 나머지가 3이나 7인 400까지의 소수</h5>
+==20으로 나눈 나머지가 3이나 7인 400까지의 소수==
-*  3, 7, 23, 43, 47, 67, 83, 103, 107, 127, 163, 167, 223, 227, 263, 283, 307, 347, 367, 383<br>
+*  3, 7, 23, 43, 47, 67, 83, 103, 107, 127, 163, 167, 223, 227, 263, 283, 307, 347, 367, 383
-<h5><math>x^2-5 \pmod p</math> 의 분해</h5>
+==<math>x^2-5 \pmod p</math> 의 분해==
 * 20으로 나눈 나머지가 1,3,7,9인 소수 p에 대한 <math>x^2-5 \pmod p</math>의 분해
 * 나머지가 1 또는 9인 경우에만 일차식으로 분해됨을 볼 수 있음
 * class field theory에 의해 예측할 수 있는 사실
-* "소수, 20으로 나눈 나머지, 분해" 순서
+* 다음 목록은 "소수p, p를 20으로 나눈 나머지, 다항식 x^2-5의 mod p분해"
-=3 mod 20, x^2-5=1+x^2 mod 3<br> 7=7 mod 20, x^2-5=2+x^2 mod 7<br> 23=3 mod 20, x^2-5=18+x^2 mod 23<br> 29=9 mod 20, x^2-5=(11+x)(18+x) mod 29<br> 41=1 mod 20, x^2-5=(13+x)(28+x) mod 41<br> 43=3 mod 20, x^2-5=38+x^2 mod 43<br> 47=7 mod 20, x^2-5=42+x^2 mod 47<br> 61=1 mod 20, x^2-5=(26+x)(35+x) mod 61<br> 67=7 mod 20, x^2-5=62+x^2 mod 67<br> 83=3 mod 20, x^2-5=78+x^2 mod 83<br> 89=9 mod 20, x^2-5=(19+x)(70+x) mod 89<br> 101=1 mod 20, x^2-5=(45+x)(56+x) mod 101<br> 103=3 mod 20, x^2-5=98+x^2 mod 103<br> 107=7 mod 20, x^2-5=102+x^2 mod 107<br> 109=9 mod 20, x^2-5=(21+x)(88+x) mod 109<br> 127=7 mod 20, x^2-5=122+x^2 mod 127<br> 149=9 mod 20, x^2-5=(68+x)(81+x) mod 149<br> 163=3 mod 20, x^2-5=158+x^2 mod 163<br> 167=7 mod 20, x^2-5=162+x^2 mod 167<br> 181=1 mod 20, x^2-5=(27+x)(154+x) mod 181<br> 223=3 mod 20, x^2-5=218+x^2 mod 223<br> 227=7 mod 20, x^2-5=222+x^2 mod 227<br> 229=9 mod 20, x^2-5=(66+x)(163+x) mod 229<br> 241=1 mod 20, x^2-5=(103+x)(138+x) mod 241<br> 263=3 mod 20, x^2-5=258+x^2 mod 263<br> 269=9 mod 20, x^2-5=(126+x)(143+x) mod 269<br> 281=1 mod 20, x^2-5=(75+x)(206+x) mod 281<br> 283=3 mod 20, x^2-5=278+x^2 mod 283<br> 307=7 mod 20, x^2-5=302+x^2 mod 307<br> 347=7 mod 20, x^2-5=342+x^2 mod 347<br> 349=9 mod 20, x^2-5=(62+x)(287+x) mod 349<br> 367=7 mod 20, x^2-5=362+x^2 mod 367<br> 383=3 mod 20, x^2-5=378+x^2 mod 383<br> 389=9 mod 20, x^2-5=(86+x)(303+x) mod 389
-<h5>재미있는 사실</h5>
-* 네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=
-<h5>역사</h5>
-* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
-<h5>메모</h5>
-<h5>관련된 항목들</h5>
-<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">수학용어번역</h5>
-* http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
-* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
-** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
-* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
-<h5>사전 형태의 자료</h5>
-* http://ko.wikipedia.org/wiki/
-* http://en.wikipedia.org/wiki/
-* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
-* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
-* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]<br>
-** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=
+=3 mod 20, x^2-5=1+x^2 mod 3 7=7 mod 20, x^2-5=2+x^2 mod 7 23=3 mod 20, x^2-5=18+x^2 mod 23 29=9 mod 20, x^2-5=(11+x)(18+x) mod 29 41=1 mod 20, x^2-5=(13+x)(28+x) mod 41 43=3 mod 20, x^2-5=38+x^2 mod 43 47=7 mod 20, x^2-5=42+x^2 mod 47 61=1 mod 20, x^2-5=(26+x)(35+x) mod 61 67=7 mod 20, x^2-5=62+x^2 mod 67 83=3 mod 20, x^2-5=78+x^2 mod 83 89=9 mod 20, x^2-5=(19+x)(70+x) mod 89 101=1 mod 20, x^2-5=(45+x)(56+x) mod 101 103=3 mod 20, x^2-5=98+x^2 mod 103 107=7 mod 20, x^2-5=102+x^2 mod 107 109=9 mod 20, x^2-5=(21+x)(88+x) mod 109 127=7 mod 20, x^2-5=122+x^2 mod 127 149=9 mod 20, x^2-5=(68+x)(81+x) mod 149 163=3 mod 20, x^2-5=158+x^2 mod 163 167=7 mod 20, x^2-5=162+x^2 mod 167 181=1 mod 20, x^2-5=(27+x)(154+x) mod 181 223=3 mod 20, x^2-5=218+x^2 mod 223 227=7 mod 20, x^2-5=222+x^2 mod 227 229=9 mod 20, x^2-5=(66+x)(163+x) mod 229 241=1 mod 20, x^2-5=(103+x)(138+x) mod 241 263=3 mod 20, x^2-5=258+x^2 mod 263 269=9 mod 20, x^2-5=(126+x)(143+x) mod 269 281=1 mod 20, x^2-5=(75+x)(206+x) mod 281 283=3 mod 20, x^2-5=278+x^2 mod 283 307=7 mod 20, x^2-5=302+x^2 mod 307 347=7 mod 20, x^2-5=342+x^2 mod 347 349=9 mod 20, x^2-5=(62+x)(287+x) mod 349 367=7 mod 20, x^2-5=362+x^2 mod 367 383=3 mod 20, x^2-5=378+x^2 mod 383 389=9 mod 20, x^2-5=(86+x)(303+x) mod 389
-<h5>관련논문</h5>
-* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
-* http://dx.doi.org/
+==역사==
-<h5>관련도서 및 추천도서</h5>
+* [[수학사 연표]]
-*  도서내검색<br>
-** http://books.google.com/books?q=
-** http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=
-*  도서검색<br>
-** http://books.google.com/books?q=
-** http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=
-** http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=
+==메모==
-<h5>관련기사</h5>
-*  네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)<br>
-** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
-** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
-** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
+==관련된 항목들==
+* [[정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)]]
-<h5>블로그</h5>
+==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
-*  구글 블로그 검색<br>
+* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxVEpGdUlBcFBITFU/edit
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+* http://oeis.org/A033205
-* [http://navercast.naver.com/science/list 네이버 오늘의과학]
+[[분류:에세이]]
-* [http://math.dongascience.com/ 수학동아]
-* [http://www.ams.org/mathmoments/ Mathematical Moments from the AMS]
-* [http://betterexplained.com/ BetterExplained]