"타원 둘레의 길이"의 두 판 사이의 차이
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| − | + | * 타원 <math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1</math>을 생각하자. 이 때, <math>a>b>0</math>라 가정. | |
| + | * 매개화는 <math>x=a \sin \theta</math>, <math>y=b \cos \theta</math>, <math>0\leq \theta \leq 2\pi</math> 로 주어짐 | ||
| + | * 둘레의 길이는 <math>4aE(k)</math>로 주어진다. 여기서 E는 [[제2종타원적분 E (complete elliptic integral of the second kind)]], k는 타원의 이심률 | ||
| + | * 유도과정 | ||
| + | :<math> | ||
| + | \begin{aligned} | ||
| + | 4\int^{\frac{\pi}{2}}_ {0}\sqrt{a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta}d\theta & =4\int^{\frac{\pi}{2}}_ {0}\sqrt{a^2+(b^2-a^2)\sin^2\theta}d\theta \\ | ||
| + | {}& =4\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}a\sqrt{1-(1-\frac{b^2}{a^2})\sin^2\theta}d\theta \\ | ||
| + | {}& =4a\int^{\frac{\pi}{2}}_ {0}\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}d\theta \\ | ||
| + | {}&=4aE(k) | ||
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| + | </math> | ||
| + | 여기서 <math>k=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}</math> 는 타원의 이심률, 제2종타원적분 E는 다음과 같이 주어짐 | ||
| + | :<math>E(k)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-k^2\sin^2 \theta} d\theta =\int_{0}^{1}\frac{\sqrt{1-k^2x^2}}{\sqrt{1-x^2}} dx=\int_{0}^{1}\frac{1-k^2x^2}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}\,dx</math> | ||
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| − | + | ==역사== | |
| − | * | + | * [[수학사 연표]] |
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| − | * | + | * [[렘니스케이트(lemniscate) 곡선의 길이와 타원적분|lemniscate 곡선의 길이와 타원적분]] |
| − | * | + | * [[제2종타원적분 E (complete elliptic integral of the second kind)]] |
| − | * | + | * [[타원]] |
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| − | + | ==매스매티카 파일 및 계산 리소스== | |
| − | * | + | * https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxSG51WlY4ZTUtTVU/edit |
| − | + | [[분류:타원적분]] | |
2020년 11월 12일 (목) 00:38 기준 최신판
개요
- 초등함수를 사용하여 닫힌형태로 표현할 수 없고, 타원적분이 필요하다
- 역사적으로 타원의 둘레의 길이를 구하는 적분에서 타원적분의 이름이 붙여짐
타원 둘레 길이의 유도
- 타원 \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)을 생각하자. 이 때, \(a>b>0\)라 가정.
- 매개화는 \(x=a \sin \theta\), \(y=b \cos \theta\), \(0\leq \theta \leq 2\pi\) 로 주어짐
- 둘레의 길이는 \(4aE(k)\)로 주어진다. 여기서 E는 제2종타원적분 E (complete elliptic integral of the second kind), k는 타원의 이심률
- 유도과정
\[ \begin{aligned} 4\int^{\frac{\pi}{2}}_ {0}\sqrt{a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta}d\theta & =4\int^{\frac{\pi}{2}}_ {0}\sqrt{a^2+(b^2-a^2)\sin^2\theta}d\theta \\ {}& =4\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}a\sqrt{1-(1-\frac{b^2}{a^2})\sin^2\theta}d\theta \\ {}& =4a\int^{\frac{\pi}{2}}_ {0}\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}d\theta \\ {}&=4aE(k) \end{aligned} \] 여기서 \(k=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\) 는 타원의 이심률, 제2종타원적분 E는 다음과 같이 주어짐 \[E(k)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-k^2\sin^2 \theta} d\theta =\int_{0}^{1}\frac{\sqrt{1-k^2x^2}}{\sqrt{1-x^2}} dx=\int_{0}^{1}\frac{1-k^2x^2}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}\,dx\]
역사
관련된 항목들