스스로 깨진 연속 대칭

굳이 영어로 하자면, spontaneous breakdown of continuous symmetry입니다. 사실 원래 영어였고 이를 한글로 옮기면서 낱말의 순서를 어떻게 해야할지 고민을 조금 했습니다. 여튼 하나씩 보겠습니다.

피타고라스님 블로그에서 본 정의(?)가 문득 떠오르는데요, 대칭이란 "변화 속의 불변"이라고 합니다. 특히 통계물리의 스핀 모형에서는 각 스핀의 방향에 따라 시스템의 에너지가 얻어지는데, 스핀들을 모두 똑같이 변화시켜도 에너지가 그대로인 경우가 생깁니다. 이렇게 스핀의 방향을 '변화'시켜도 에너지가 '불변'일 때 이 성질을 '대칭'이라고 표현합니다.

+1 또는 -1 중 하나의 값만을 갖는 이징 모형은 Z₂ 대칭이 있다고 합니다. XY 모형의 스핀들은 나침반의 바늘처럼 0부터 2π 사이의 값을 가질 수 있는데요, 여기서는 각 스핀을 모두 같은 각도만큼 변화시켜도 에너지가 불변입니다. 여기서 '각도'는 연속적인 양이므로 이 경우는 '연속 대칭'이라고 부를 수 있겠죠.

만일 XY 모형의 스핀들에 일정한 방향의 외부 자기장을 걸어준다면 자기장의 방향으로 스핀들이 회전하려고 할 겁니다. 여기서는 스핀의 각도를 모두 같은 양만큼 변화시키면 에너지가 달라지므로 앞서 말한 대칭이 깨졌다(breakdown)고 할 수 있습니다.

그럼 외부 장 없이도 대칭이 깨질 수 있느냐...하면 그렇다는 거죠. 스핀들은 서로 같은 방향을 향하고자 하는 강자성 상호작용(ferromagnetic interaction)을 하기 때문입니다. 물론 열적 요동에 의해 방해받지만 않는다면, 스핀들은 모두 같은 방향을 향하게 될 겁니다(질서 상태). 누가 시키지 않았는데도(즉 외부 장이 가해지지 않았는데도), 지들이 알아서 특정한 방향을 향해 정렬했으므로 이를 스스로 깨짐(자발적 붕괴)이라고 합니다. 이게 상전이를 설명하는 방식이죠.

Z₂ 대칭이 있는 이징 모형의 란다우 자유에너지 V(m)은 아래 그림처럼 나타낼 수 있습니다. 여기서 m은 자기화로 질서변수(order parameter)라고 부르죠.

왼쪽은 온도가 높을 때의 무질서 상태인데 스핀들이 제멋대로이므로 그 스핀들의 평균인 m은 0이 되겠죠. 즉 V(m)을 최소화하는 m은 0이라는 걸 보여줍니다. 위 오른쪽 그림은 온도가 낮을 때의 질서 상태이므로 V(m)을 최소화하는 m은 0이 아닌 값을 가지며 그런 m은 단 두 개입니다. V의 최소점을 편의상 '에너지 바닥'으로 부르겠습니다.

연속 대칭이 있는 모형에서도 비슷한 그림을 그릴 수 있는데요, 각 스핀은 2차원 벡터로 나타낼 수 있으므로 자기화 역시 2차원 벡터로 표현됩니다. (S₁,S₂)로 쓰겠습니다. 아래 왼쪽 그림은 온도가 높을 때의 무질서 상태입니다. 이징 모형의 무질서 상태와 크게 달라보이는 건 없죠.

그런데 위 오른쪽 그림의 질서 상태는 이징 모형의 질서 상태와는 매우 다릅니다. 이징 모형에서 V(m)을 최소화하는 m은 단 2개였습니다. 하지만 연속 대칭이 있는 경우 V(S)를 최소화하는 (S₁,S₂)는 무수히 많습니다. 게다가 이징 모형에서는 한 에너지 바닥에서 다른 에너지 바닥으로 건너가기 위해서는 m=0에 있는 에너지 장벽을 넘어야 하지만, 연속 대칭이 있는 모형에서는 에너지 바닥이 원 모양으로 이어져 있어서 한 에너지 바닥에서 (무수히 많은) 다른 에너지 바닥으로 가는데 아무런 걸림이 없습니다. 다시 말해서 에너지 바닥을 돌아다니는데 들어가는 에너지 비용은 0입니다.

이렇게 연속 대칭은 Z₂ 대칭과는 매우 다른 성질을 보여주는데요, 그래서 이로 인해 어떤 결과들이 나타나는가를 살펴보는 건 다음으로 미루겠습니다.