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| − | * 격자 <math>L</math> 에 대하여 세타함수를 다음과 같이 정의함:<math>\theta_L(\tau)=\sum_{x\in L}q^{\frac{x^2}{2}}, \quad q=e^{2\pi i \tau}</math> | + | * 격자 <math>L\subseteq \mathbb{R}^n</math> 에 대하여 세타함수를 다음과 같이 정의함 |
| − | + | :<math>\theta_L(\tau)=\sum_{x\in L}q^{\frac{x^2}{2}}, \quad q=e^{2\pi i \tau}</math> | |
| + | 여기서 <math>x^2</math> 은 벡터 <math>x</math>의 norm 을 가리킴. | ||
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| − | * 격자가 정수집합 <math>\mathbb Z</math> 로 주어진 경우의 세타함수:<math>\theta(\tau)=\sum_{n\in \mathbb Z}q^{\frac{n^2}{2}}= \sum_{n=-\infty}^\infty e^{\pi i n^2 \tau}</math> | + | ===1차원 격자 <math>\mathbb{Z}</math>=== |
| − | * [[자코비 세타함수]] | + | * 격자가 정수집합 <math>\mathbb Z</math> 로 주어진 경우의 세타함수 |
| + | :<math> | ||
| + | \theta(\tau)=\sum_{n\in \mathbb Z}q^{\frac{n^2}{2}}= \sum_{n=-\infty}^\infty e^{\pi i n^2 \tau} | ||
| + | </math> | ||
| + | * 이는 [[자코비 세타함수]]이며, 다음의 변환 성질을 만족한다 | ||
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| + | \theta(-\frac{1}{\tau})=\sqrt{\frac{\tau}{i}} \theta({\tau}) | ||
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==세타함수의 모듈라 성질== | ==세타함수의 모듈라 성질== | ||
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| + | 유클리드 공간 <math>\mathbb{R}^n</math>의 격자 <math>L</math>과 쌍대 <math>L^{*}</math>에 대하여 다음이 성립한다 : | ||
| + | :<math> | ||
| + | \theta_{L}(-\frac{1}{\tau})=(\frac{\tau}{i})^{n/2}\frac{1}{\operatorname{vol}(\mathbb{R}^n/L)} \theta_{L^{*}}({\tau}) | ||
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| − | + | [[포아송의 덧셈 공식]]으로부터 얻어진다. ■ | |
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==메모== | ==메모== | ||
* http://sbseminar.wordpress.com/2010/05/14/lattices-and-their-invariants/ | * http://sbseminar.wordpress.com/2010/05/14/lattices-and-their-invariants/ | ||
* [http://swc.math.arizona.edu/aws/2009/ Arizona Winter School 2009: Quadratic Forms] | * [http://swc.math.arizona.edu/aws/2009/ Arizona Winter School 2009: Quadratic Forms] | ||
* http://math.mit.edu/~brubaker/Math784/thetafunctions.pdf | * http://math.mit.edu/~brubaker/Math784/thetafunctions.pdf | ||
| − | + | * http://zacharyabel.com/papers/Theta-Series-Mod_A07.pdf | |
==관련된 항목들== | ==관련된 항목들== | ||
| − | + | * [[격자의 지겔 세타 급수]] | |
* [[자코비 세타함수]] | * [[자코비 세타함수]] | ||
* [[리치 격자(Leech lattice)]] | * [[리치 격자(Leech lattice)]] | ||
* [[모듈라 형식(modular forms)]] | * [[모듈라 형식(modular forms)]] | ||
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| + | ==매스매티카 파일 및 계산 리소스== | ||
| + | * https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxenZhcGRFZGZCZ0k/edit | ||
2020년 11월 16일 (월) 03:56 기준 최신판
정의
- 격자 \(L\subseteq \mathbb{R}^n\) 에 대하여 세타함수를 다음과 같이 정의함
\[\theta_L(\tau)=\sum_{x\in L}q^{\frac{x^2}{2}}, \quad q=e^{2\pi i \tau}\] 여기서 \(x^2\) 은 벡터 \(x\)의 norm 을 가리킴.
예
1차원 격자 \(\mathbb{Z}\)
- 격자가 정수집합 \(\mathbb Z\) 로 주어진 경우의 세타함수
\[ \theta(\tau)=\sum_{n\in \mathbb Z}q^{\frac{n^2}{2}}= \sum_{n=-\infty}^\infty e^{\pi i n^2 \tau} \]
- 이는 자코비 세타함수이며, 다음의 변환 성질을 만족한다
\[ \theta(-\frac{1}{\tau})=\sqrt{\frac{\tau}{i}} \theta({\tau}) \]
세타함수의 모듈라 성질
- 정리
유클리드 공간 \(\mathbb{R}^n\)의 격자 \(L\)과 쌍대 \(L^{*}\)에 대하여 다음이 성립한다 : \[ \theta_{L}(-\frac{1}{\tau})=(\frac{\tau}{i})^{n/2}\frac{1}{\operatorname{vol}(\mathbb{R}^n/L)} \theta_{L^{*}}({\tau}) \]
- 증명
포아송의 덧셈 공식으로부터 얻어진다. ■
메모
- http://sbseminar.wordpress.com/2010/05/14/lattices-and-their-invariants/
- Arizona Winter School 2009: Quadratic Forms
- http://math.mit.edu/~brubaker/Math784/thetafunctions.pdf
- http://zacharyabel.com/papers/Theta-Series-Mod_A07.pdf
관련된 항목들