"대칭곱 (symmetric power)과 대칭텐서"의 두 판 사이의 차이

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==개요==
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* 벡터공간 <math>V</math>에 대하여 대칭곱 <math>\operatorname{Sym}^d V</math>를 정의할 수 있다
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* <math>V</math>에 작용하는 선형변환 <math>A</math>에 대하여 <math>\operatorname{Sym}^d A</math>를 정의할 수 있다
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==대칭곱의 기저==
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* 차원이 <math>n</math>인 벡터공간 <math>V</math>의 기저가 <math>\{v_1,\cdots,v_n\}</math>으로 주어진다고 하자
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* <math>\operatorname{Sym}^d V</math>는 변수 <math>\{v_1,\cdots,v_n\}</math>에 대하여, 차수가 d인 [[동차다항식(Homogeneous polynomial)]]이 이루는 벡터공간과 같다
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* 차원은 <math>_n H_d</math>, [[중복조합의 공식 H(n,r)=C(n+r-1,r)|중복조합의 공식]] 참조
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* 기저는 다음과 같이 주어진다
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===<math>\dim V=1</math>인 경우===
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d & \operatorname{Sym}^d V \\
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1 & \left\{v_1\right\} \\
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===<math>\dim V=2</math>인 경우===
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d & \operatorname{Sym}^d V \\
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0 & \{1\} \\
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1 & \left\{v_1,v_2\right\} \\
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2 & \left\{v_1^2,v_1 v_2,v_2^2\right\} \\
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3 & \left\{v_1^3,v_1^2 v_2,v_1 v_2^2,v_2^3\right\} \\
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===<math>\dim V=3</math>인 경우===
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d & \operatorname{Sym}^d V \\
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0 & \{1\} \\
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1 & \left\{v_1,v_2,v_3\right\} \\
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2 & \left\{v_1^2,v_1 v_2,v_1 v_3,v_2^2,v_2 v_3,v_3^2\right\} \\
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3 & \left\{v_1^3,v_1^2 v_2,v_1^2 v_3,v_1 v_2^2,v_1 v_2 v_3,v_1 v_3^2,v_2^3,v_2^2 v_3,v_2 v_3^2,v_3^3\right\} \\
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==행렬의 대칭곱==
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* <math>V</math>에 작용하는 선형변환의 행렬표현 <math>A=(a_{ij})</math>를 생각하자
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3 a_{1,1} a_{2,1}^2 & a_{1,2} a_{2,1}^2+2 a_{1,1} a_{2,2} a_{2,1} & a_{1,1} a_{2,2}^2+2 a_{1,2} a_{2,1} a_{2,2} & 3 a_{1,2} a_{2,2}^2 \\
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6 a_{1,1}^2 a_{2,1}^2 & 3 a_{2,1} a_{2,2} a_{1,1}^2+3 a_{1,2} a_{2,1}^2 a_{1,1} & a_{1,2}^2 a_{2,1}^2+4 a_{1,1} a_{1,2} a_{2,2} a_{2,1}+a_{1,1}^2 a_{2,2}^2 & 3 a_{2,1} a_{2,2} a_{1,2}^2+3 a_{1,1} a_{2,2}^2 a_{1,2} & 6 a_{1,2}^2 a_{2,2}^2 \\
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4 a_{1,1} a_{2,1}^3 & a_{1,2} a_{2,1}^3+3 a_{1,1} a_{2,2} a_{2,1}^2 & 2 a_{1,2} a_{2,2} a_{2,1}^2+2 a_{1,1} a_{2,2}^2 a_{2,1} & a_{1,1} a_{2,2}^3+3 a_{1,2} a_{2,1} a_{2,2}^2 & 4 a_{1,2} a_{2,2}^3 \\
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a_{2,1}^4 & a_{2,1}^3 a_{2,2} & a_{2,1}^2 a_{2,2}^2 & a_{2,1} a_{2,2}^3 & a_{2,2}^4 \\
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\end{array}
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\right) \\
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</math>
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===<math>\dim V=3</math>인 경우===
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d & \operatorname{Sym}^d A \\
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0 & \left(
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\begin{array}{c}
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\begin{array}{ccc}
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a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} \\
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a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} \\
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\begin{array}{cccccc}
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a_{1,1}^2 & a_{1,1} a_{1,2} & a_{1,1} a_{1,3} & a_{1,2}^2 & a_{1,2} a_{1,3} & a_{1,3}^2 \\
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2 a_{1,1} a_{2,1} & a_{1,2} a_{2,1}+a_{1,1} a_{2,2} & a_{1,3} a_{2,1}+a_{1,1} a_{2,3} & 2 a_{1,2} a_{2,2} & a_{1,3} a_{2,2}+a_{1,2} a_{2,3} & 2 a_{1,3} a_{2,3} \\
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2 a_{1,1} a_{3,1} & a_{1,2} a_{3,1}+a_{1,1} a_{3,2} & a_{1,3} a_{3,1}+a_{1,1} a_{3,3} & 2 a_{1,2} a_{3,2} & a_{1,3} a_{3,2}+a_{1,2} a_{3,3} & 2 a_{1,3} a_{3,3} \\
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a_{2,1}^2 & a_{2,1} a_{2,2} & a_{2,1} a_{2,3} & a_{2,2}^2 & a_{2,2} a_{2,3} & a_{2,3}^2 \\
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2 a_{2,1} a_{3,1} & a_{2,2} a_{3,1}+a_{2,1} a_{3,2} & a_{2,3} a_{3,1}+a_{2,1} a_{3,3} & 2 a_{2,2} a_{3,2} & a_{2,3} a_{3,2}+a_{2,2} a_{3,3} & 2 a_{2,3} a_{3,3} \\
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a_{3,1}^2 & a_{3,1} a_{3,2} & a_{3,1} a_{3,3} & a_{3,2}^2 & a_{3,2} a_{3,3} & a_{3,3}^2 \\
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\right) \\
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\end{array}
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</math>
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==관련된 항목들==
 
==관련된 항목들==
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* [[동차다항식(Homogeneous polynomial)]]
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* [[중복조합의 공식 H(n,r)=C(n+r-1,r)]]
 
* [[외대수(exterior algebra)와 다중선형대수(multilinear algebra)]]
 
* [[외대수(exterior algebra)와 다중선형대수(multilinear algebra)]]
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* [[행렬의 크로네커 곱 (Kronecker product)]]
  
  
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* http://math.stanford.edu/~conrad/diffgeomPage/handouts/symmwedgebasis.pdf
 
* http://math.stanford.edu/~conrad/diffgeomPage/handouts/symmwedgebasis.pdf
  
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
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* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxWFFsckNSY2VhV28/edit
  
 
[[분류:선형대수학]]
 
[[분류:선형대수학]]
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==메타데이터==
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===위키데이터===
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* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q1052674 Q1052674]
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===Spacy 패턴 목록===
 +
* [{'LOWER': 'symmetric'}, {'LEMMA': 'algebra'}]

2021년 2월 17일 (수) 02:23 기준 최신판

개요

  • 벡터공간 \(V\)에 대하여 대칭곱 \(\operatorname{Sym}^d V\)를 정의할 수 있다
  • \(V\)에 작용하는 선형변환 \(A\)에 대하여 \(\operatorname{Sym}^d A\)를 정의할 수 있다


대칭곱의 기저

  • 차원이 \(n\)인 벡터공간 \(V\)의 기저가 \(\{v_1,\cdots,v_n\}\)으로 주어진다고 하자
  • \(\operatorname{Sym}^d V\)는 변수 \(\{v_1,\cdots,v_n\}\)에 대하여, 차수가 d인 동차다항식(Homogeneous polynomial)이 이루는 벡터공간과 같다
  • 차원은 \(_n H_d\), 중복조합의 공식 참조
  • 기저는 다음과 같이 주어진다


\(\dim V=1\)인 경우

\begin{array}{c|c} d & \operatorname{Sym}^d V \\ \hline 0 & \{1\} \\ 1 & \left\{v_1\right\} \\ 2 & \left\{v_1^2\right\} \\ 3 & \left\{v_1^3\right\} \\ \end{array}


\(\dim V=2\)인 경우

\begin{array}{c|c} d & \operatorname{Sym}^d V \\ \hline 0 & \{1\} \\ 1 & \left\{v_1,v_2\right\} \\ 2 & \left\{v_1^2,v_1 v_2,v_2^2\right\} \\ 3 & \left\{v_1^3,v_1^2 v_2,v_1 v_2^2,v_2^3\right\} \\ \end{array}


\(\dim V=3\)인 경우

\begin{array}{c|c} d & \operatorname{Sym}^d V \\ \hline 0 & \{1\} \\ 1 & \left\{v_1,v_2,v_3\right\} \\ 2 & \left\{v_1^2,v_1 v_2,v_1 v_3,v_2^2,v_2 v_3,v_3^2\right\} \\ 3 & \left\{v_1^3,v_1^2 v_2,v_1^2 v_3,v_1 v_2^2,v_1 v_2 v_3,v_1 v_3^2,v_2^3,v_2^2 v_3,v_2 v_3^2,v_3^3\right\} \\ \end{array}

행렬의 대칭곱

  • \(V\)에 작용하는 선형변환의 행렬표현 \(A=(a_{ij})\)를 생각하자

\(\dim V=1\)인 경우

\[ \begin{array}{c|c} d & \operatorname{Sym}^d A \\ \hline 0 & \left( \begin{array}{c} 1 \\ \end{array} \right) \\ 1 & \left( \begin{array}{c} a_{1,1} \\ \end{array} \right) \\ 2 & \left( \begin{array}{c} a_{1,1}^2 \\ \end{array} \right) \\ 3 & \left( \begin{array}{c} a_{1,1}^3 \\ \end{array} \right) \\ 4 & \left( \begin{array}{c} a_{1,1}^4 \\ \end{array} \right) \\ \end{array} \]

\(\dim V=2\)인 경우

\[ \begin{array}{c|c} d & \operatorname{Sym}^d A \\ \hline 0 & \left( \begin{array}{c} 1 \\ \end{array} \right) \\ 1 & \left( \begin{array}{cc} a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{2,1} & a_{2,2} \\ \end{array} \right) \\ 2 & \left( \begin{array}{ccc} a_{1,1}^2 & a_{1,1} a_{1,2} & a_{1,2}^2 \\ 2 a_{1,1} a_{2,1} & a_{1,2} a_{2,1}+a_{1,1} a_{2,2} & 2 a_{1,2} a_{2,2} \\ a_{2,1}^2 & a_{2,1} a_{2,2} & a_{2,2}^2 \\ \end{array} \right) \\ 3 & \left( \begin{array}{cccc} a_{1,1}^3 & a_{1,1}^2 a_{1,2} & a_{1,1} a_{1,2}^2 & a_{1,2}^3 \\ 3 a_{1,1}^2 a_{2,1} & a_{2,2} a_{1,1}^2+2 a_{1,2} a_{2,1} a_{1,1} & a_{2,1} a_{1,2}^2+2 a_{1,1} a_{2,2} a_{1,2} & 3 a_{1,2}^2 a_{2,2} \\ 3 a_{1,1} a_{2,1}^2 & a_{1,2} a_{2,1}^2+2 a_{1,1} a_{2,2} a_{2,1} & a_{1,1} a_{2,2}^2+2 a_{1,2} a_{2,1} a_{2,2} & 3 a_{1,2} a_{2,2}^2 \\ a_{2,1}^3 & a_{2,1}^2 a_{2,2} & a_{2,1} a_{2,2}^2 & a_{2,2}^3 \\ \end{array} \right) \\ 4 & \left( \begin{array}{ccccc} a_{1,1}^4 & a_{1,1}^3 a_{1,2} & a_{1,1}^2 a_{1,2}^2 & a_{1,1} a_{1,2}^3 & a_{1,2}^4 \\ 4 a_{1,1}^3 a_{2,1} & a_{2,2} a_{1,1}^3+3 a_{1,2} a_{2,1} a_{1,1}^2 & 2 a_{1,2} a_{2,2} a_{1,1}^2+2 a_{1,2}^2 a_{2,1} a_{1,1} & a_{2,1} a_{1,2}^3+3 a_{1,1} a_{2,2} a_{1,2}^2 & 4 a_{1,2}^3 a_{2,2} \\ 6 a_{1,1}^2 a_{2,1}^2 & 3 a_{2,1} a_{2,2} a_{1,1}^2+3 a_{1,2} a_{2,1}^2 a_{1,1} & a_{1,2}^2 a_{2,1}^2+4 a_{1,1} a_{1,2} a_{2,2} a_{2,1}+a_{1,1}^2 a_{2,2}^2 & 3 a_{2,1} a_{2,2} a_{1,2}^2+3 a_{1,1} a_{2,2}^2 a_{1,2} & 6 a_{1,2}^2 a_{2,2}^2 \\ 4 a_{1,1} a_{2,1}^3 & a_{1,2} a_{2,1}^3+3 a_{1,1} a_{2,2} a_{2,1}^2 & 2 a_{1,2} a_{2,2} a_{2,1}^2+2 a_{1,1} a_{2,2}^2 a_{2,1} & a_{1,1} a_{2,2}^3+3 a_{1,2} a_{2,1} a_{2,2}^2 & 4 a_{1,2} a_{2,2}^3 \\ a_{2,1}^4 & a_{2,1}^3 a_{2,2} & a_{2,1}^2 a_{2,2}^2 & a_{2,1} a_{2,2}^3 & a_{2,2}^4 \\ \end{array} \right) \\ \end{array} \]

\(\dim V=3\)인 경우

\[ \begin{array}{c|c} d & \operatorname{Sym}^d A \\ \hline 0 & \left( \begin{array}{c} 1 \\ \end{array} \right) \\ 1 & \left( \begin{array}{ccc} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} \\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} \\ \end{array} \right) \\ 2 & \left( \begin{array}{cccccc} a_{1,1}^2 & a_{1,1} a_{1,2} & a_{1,1} a_{1,3} & a_{1,2}^2 & a_{1,2} a_{1,3} & a_{1,3}^2 \\ 2 a_{1,1} a_{2,1} & a_{1,2} a_{2,1}+a_{1,1} a_{2,2} & a_{1,3} a_{2,1}+a_{1,1} a_{2,3} & 2 a_{1,2} a_{2,2} & a_{1,3} a_{2,2}+a_{1,2} a_{2,3} & 2 a_{1,3} a_{2,3} \\ 2 a_{1,1} a_{3,1} & a_{1,2} a_{3,1}+a_{1,1} a_{3,2} & a_{1,3} a_{3,1}+a_{1,1} a_{3,3} & 2 a_{1,2} a_{3,2} & a_{1,3} a_{3,2}+a_{1,2} a_{3,3} & 2 a_{1,3} a_{3,3} \\ a_{2,1}^2 & a_{2,1} a_{2,2} & a_{2,1} a_{2,3} & a_{2,2}^2 & a_{2,2} a_{2,3} & a_{2,3}^2 \\ 2 a_{2,1} a_{3,1} & a_{2,2} a_{3,1}+a_{2,1} a_{3,2} & a_{2,3} a_{3,1}+a_{2,1} a_{3,3} & 2 a_{2,2} a_{3,2} & a_{2,3} a_{3,2}+a_{2,2} a_{3,3} & 2 a_{2,3} a_{3,3} \\ a_{3,1}^2 & a_{3,1} a_{3,2} & a_{3,1} a_{3,3} & a_{3,2}^2 & a_{3,2} a_{3,3} & a_{3,3}^2 \\ \end{array} \right) \\ \end{array} \]


관련된 항목들


사전 형태의 자료


리뷰, 에세이, 강의노트


매스매티카 파일 및 계산 리소스

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'symmetric'}, {'LEMMA': 'algebra'}]
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