"대칭곱 (symmetric power)과 대칭텐서"의 두 판 사이의 차이

수학노트
둘러보기로 가기 검색하러 가기
 
(같은 사용자의 중간 판 5개는 보이지 않습니다)
1번째 줄: 1번째 줄:
 
==개요==
 
==개요==
−
* 벡터공간 $V$에 대하여 대칭곱 $\operatorname{Sym}^n V$를 정의할 수 있다
+
* 벡터공간 <math>V</math>에 대하여 대칭곱 <math>\operatorname{Sym}^d V</math>를 정의할 수 있다
−
* $V$에 작용하는 선형변환 $A$에 대하여 $\operatorname{Sym}^n A$를 정의할 수 있다
+
* <math>V</math>에 작용하는 선형변환 <math>A</math>에 대하여 <math>\operatorname{Sym}^d A</math>를 정의할 수 있다
  
  
 
==대칭곱의 기저==
 
==대칭곱의 기저==
−
* 차원이 $n$인 벡터공간 $V$의 기저가 $\{v_1,\cdots,v_n\}$으로 주어진다고 하자
+
* 차원이 <math>n</math>인 벡터공간 <math>V</math>의 기저가 <math>\{v_1,\cdots,v_n\}</math>으로 주어진다고 하자
−
* $\operatorname{Sym}^d V$는 변수의 개수가 n이고, 차수가 d인 [[동차다항식(Homogeneous polynomial)]]이 이루는 벡터공간과 같다
+
* <math>\operatorname{Sym}^d V</math>는 변수 <math>\{v_1,\cdots,v_n\}</math>에 대하여, 차수가 d인 [[동차다항식(Homogeneous polynomial)]]이 이루는 벡터공간과 같다
−
* 차원은 $_n H_d$이며 기저는 다음과 같이 주어진다
+
* 차원은 <math>_n H_d</math>, [[중복조합의 공식 H(n,r)=C(n+r-1,r)|중복조합의 공식]] 참조
 +
* 기저는 다음과 같이 주어진다
  
  
−
===$\dim V=1$인 경우===
+
===<math>\dim V=1</math>인 경우===
 
\begin{array}{c|c}
 
\begin{array}{c|c}
 
  d & \operatorname{Sym}^d V \\
 
  d & \operatorname{Sym}^d V \\
21번째 줄: 22번째 줄:
  
  
−
===$\dim V=2$인 경우===
+
===<math>\dim V=2</math>인 경우===
 
\begin{array}{c|c}
 
\begin{array}{c|c}
 
  d & \operatorname{Sym}^d V \\
 
  d & \operatorname{Sym}^d V \\
32번째 줄: 33번째 줄:
  
  
−
===$\dim V=3$인 경우===
+
===<math>\dim V=3</math>인 경우===
 
\begin{array}{c|c}
 
\begin{array}{c|c}
 
  d & \operatorname{Sym}^d V \\
 
  d & \operatorname{Sym}^d V \\
41번째 줄: 42번째 줄:
 
  3 & \left\{v_1^3,v_1^2 v_2,v_1^2 v_3,v_1 v_2^2,v_1 v_2 v_3,v_1 v_3^2,v_2^3,v_2^2 v_3,v_2 v_3^2,v_3^3\right\} \\
 
  3 & \left\{v_1^3,v_1^2 v_2,v_1^2 v_3,v_1 v_2^2,v_1 v_2 v_3,v_1 v_3^2,v_2^3,v_2^2 v_3,v_2 v_3^2,v_3^3\right\} \\
 
\end{array}
 
\end{array}
−
 
−
 
  
 
==행렬의 대칭곱==
 
==행렬의 대칭곱==
−
* $V$에 작용하는 선형변환의 행렬표현 $A=(a_{ij})$를 생각하자
+
* <math>V</math>에 작용하는 선형변환의 행렬표현 <math>A=(a_{ij})</math>를 생각하자
  
−
===$\dim V=1$인 경우===
+
===<math>\dim V=1</math>인 경우===
−
$$
+
:<math>
 
\begin{array}{c|c}
 
\begin{array}{c|c}
 
  d & \operatorname{Sym}^d A \\
 
  d & \operatorname{Sym}^d A \\
78번째 줄: 77번째 줄:
 
\right) \\
 
\right) \\
 
\end{array}
 
\end{array}
−
$$
+
</math>
  
−
===$\dim V=2$인 경우===
+
===<math>\dim V=2</math>인 경우===
−
$$
+
:<math>
 
\begin{array}{c|c}
 
\begin{array}{c|c}
 
  d & \operatorname{Sym}^d A \\
 
  d & \operatorname{Sym}^d A \\
121번째 줄: 120번째 줄:
 
\right) \\
 
\right) \\
 
\end{array}
 
\end{array}
−
$$
+
</math>
  
−
===$\dim V=3$인 경우===
+
===<math>\dim V=3</math>인 경우===
−
$$
+
:<math>
 
\begin{array}{c|c}
 
\begin{array}{c|c}
 
  d & \operatorname{Sym}^d A \\
 
  d & \operatorname{Sym}^d A \\
151번째 줄: 150번째 줄:
 
\right) \\
 
\right) \\
 
\end{array}
 
\end{array}
−
$$
+
</math>
  
  
175번째 줄: 174번째 줄:
  
 
[[분류:선형대수학]]
 
[[분류:선형대수학]]
 +
 +
==메타데이터==
 +
===위키데이터===
 +
* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q1052674 Q1052674]
 +
===Spacy 패턴 목록===
 +
* [{'LOWER': 'symmetric'}, {'LEMMA': 'algebra'}]

2021년 2월 17일 (수) 02:23 기준 최신판

개요

  • 벡터공간 \(V\)에 대하여 대칭곱 \(\operatorname{Sym}^d V\)를 정의할 수 있다
  • \(V\)에 작용하는 선형변환 \(A\)에 대하여 \(\operatorname{Sym}^d A\)를 정의할 수 있다


대칭곱의 기저

  • 차원이 \(n\)인 벡터공간 \(V\)의 기저가 \(\{v_1,\cdots,v_n\}\)으로 주어진다고 하자
  • \(\operatorname{Sym}^d V\)는 변수 \(\{v_1,\cdots,v_n\}\)에 대하여, 차수가 d인 동차다항식(Homogeneous polynomial)이 이루는 벡터공간과 같다
  • 차원은 \(_n H_d\), 중복조합의 공식 참조
  • 기저는 다음과 같이 주어진다


\(\dim V=1\)인 경우

\begin{array}{c|c} d & \operatorname{Sym}^d V \\ \hline 0 & \{1\} \\ 1 & \left\{v_1\right\} \\ 2 & \left\{v_1^2\right\} \\ 3 & \left\{v_1^3\right\} \\ \end{array}


\(\dim V=2\)인 경우

\begin{array}{c|c} d & \operatorname{Sym}^d V \\ \hline 0 & \{1\} \\ 1 & \left\{v_1,v_2\right\} \\ 2 & \left\{v_1^2,v_1 v_2,v_2^2\right\} \\ 3 & \left\{v_1^3,v_1^2 v_2,v_1 v_2^2,v_2^3\right\} \\ \end{array}


\(\dim V=3\)인 경우

\begin{array}{c|c} d & \operatorname{Sym}^d V \\ \hline 0 & \{1\} \\ 1 & \left\{v_1,v_2,v_3\right\} \\ 2 & \left\{v_1^2,v_1 v_2,v_1 v_3,v_2^2,v_2 v_3,v_3^2\right\} \\ 3 & \left\{v_1^3,v_1^2 v_2,v_1^2 v_3,v_1 v_2^2,v_1 v_2 v_3,v_1 v_3^2,v_2^3,v_2^2 v_3,v_2 v_3^2,v_3^3\right\} \\ \end{array}

행렬의 대칭곱

  • \(V\)에 작용하는 선형변환의 행렬표현 \(A=(a_{ij})\)를 생각하자

\(\dim V=1\)인 경우

\[ \begin{array}{c|c} d & \operatorname{Sym}^d A \\ \hline 0 & \left( \begin{array}{c} 1 \\ \end{array} \right) \\ 1 & \left( \begin{array}{c} a_{1,1} \\ \end{array} \right) \\ 2 & \left( \begin{array}{c} a_{1,1}^2 \\ \end{array} \right) \\ 3 & \left( \begin{array}{c} a_{1,1}^3 \\ \end{array} \right) \\ 4 & \left( \begin{array}{c} a_{1,1}^4 \\ \end{array} \right) \\ \end{array} \]

\(\dim V=2\)인 경우

\[ \begin{array}{c|c} d & \operatorname{Sym}^d A \\ \hline 0 & \left( \begin{array}{c} 1 \\ \end{array} \right) \\ 1 & \left( \begin{array}{cc} a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{2,1} & a_{2,2} \\ \end{array} \right) \\ 2 & \left( \begin{array}{ccc} a_{1,1}^2 & a_{1,1} a_{1,2} & a_{1,2}^2 \\ 2 a_{1,1} a_{2,1} & a_{1,2} a_{2,1}+a_{1,1} a_{2,2} & 2 a_{1,2} a_{2,2} \\ a_{2,1}^2 & a_{2,1} a_{2,2} & a_{2,2}^2 \\ \end{array} \right) \\ 3 & \left( \begin{array}{cccc} a_{1,1}^3 & a_{1,1}^2 a_{1,2} & a_{1,1} a_{1,2}^2 & a_{1,2}^3 \\ 3 a_{1,1}^2 a_{2,1} & a_{2,2} a_{1,1}^2+2 a_{1,2} a_{2,1} a_{1,1} & a_{2,1} a_{1,2}^2+2 a_{1,1} a_{2,2} a_{1,2} & 3 a_{1,2}^2 a_{2,2} \\ 3 a_{1,1} a_{2,1}^2 & a_{1,2} a_{2,1}^2+2 a_{1,1} a_{2,2} a_{2,1} & a_{1,1} a_{2,2}^2+2 a_{1,2} a_{2,1} a_{2,2} & 3 a_{1,2} a_{2,2}^2 \\ a_{2,1}^3 & a_{2,1}^2 a_{2,2} & a_{2,1} a_{2,2}^2 & a_{2,2}^3 \\ \end{array} \right) \\ 4 & \left( \begin{array}{ccccc} a_{1,1}^4 & a_{1,1}^3 a_{1,2} & a_{1,1}^2 a_{1,2}^2 & a_{1,1} a_{1,2}^3 & a_{1,2}^4 \\ 4 a_{1,1}^3 a_{2,1} & a_{2,2} a_{1,1}^3+3 a_{1,2} a_{2,1} a_{1,1}^2 & 2 a_{1,2} a_{2,2} a_{1,1}^2+2 a_{1,2}^2 a_{2,1} a_{1,1} & a_{2,1} a_{1,2}^3+3 a_{1,1} a_{2,2} a_{1,2}^2 & 4 a_{1,2}^3 a_{2,2} \\ 6 a_{1,1}^2 a_{2,1}^2 & 3 a_{2,1} a_{2,2} a_{1,1}^2+3 a_{1,2} a_{2,1}^2 a_{1,1} & a_{1,2}^2 a_{2,1}^2+4 a_{1,1} a_{1,2} a_{2,2} a_{2,1}+a_{1,1}^2 a_{2,2}^2 & 3 a_{2,1} a_{2,2} a_{1,2}^2+3 a_{1,1} a_{2,2}^2 a_{1,2} & 6 a_{1,2}^2 a_{2,2}^2 \\ 4 a_{1,1} a_{2,1}^3 & a_{1,2} a_{2,1}^3+3 a_{1,1} a_{2,2} a_{2,1}^2 & 2 a_{1,2} a_{2,2} a_{2,1}^2+2 a_{1,1} a_{2,2}^2 a_{2,1} & a_{1,1} a_{2,2}^3+3 a_{1,2} a_{2,1} a_{2,2}^2 & 4 a_{1,2} a_{2,2}^3 \\ a_{2,1}^4 & a_{2,1}^3 a_{2,2} & a_{2,1}^2 a_{2,2}^2 & a_{2,1} a_{2,2}^3 & a_{2,2}^4 \\ \end{array} \right) \\ \end{array} \]

\(\dim V=3\)인 경우

\[ \begin{array}{c|c} d & \operatorname{Sym}^d A \\ \hline 0 & \left( \begin{array}{c} 1 \\ \end{array} \right) \\ 1 & \left( \begin{array}{ccc} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} \\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} \\ \end{array} \right) \\ 2 & \left( \begin{array}{cccccc} a_{1,1}^2 & a_{1,1} a_{1,2} & a_{1,1} a_{1,3} & a_{1,2}^2 & a_{1,2} a_{1,3} & a_{1,3}^2 \\ 2 a_{1,1} a_{2,1} & a_{1,2} a_{2,1}+a_{1,1} a_{2,2} & a_{1,3} a_{2,1}+a_{1,1} a_{2,3} & 2 a_{1,2} a_{2,2} & a_{1,3} a_{2,2}+a_{1,2} a_{2,3} & 2 a_{1,3} a_{2,3} \\ 2 a_{1,1} a_{3,1} & a_{1,2} a_{3,1}+a_{1,1} a_{3,2} & a_{1,3} a_{3,1}+a_{1,1} a_{3,3} & 2 a_{1,2} a_{3,2} & a_{1,3} a_{3,2}+a_{1,2} a_{3,3} & 2 a_{1,3} a_{3,3} \\ a_{2,1}^2 & a_{2,1} a_{2,2} & a_{2,1} a_{2,3} & a_{2,2}^2 & a_{2,2} a_{2,3} & a_{2,3}^2 \\ 2 a_{2,1} a_{3,1} & a_{2,2} a_{3,1}+a_{2,1} a_{3,2} & a_{2,3} a_{3,1}+a_{2,1} a_{3,3} & 2 a_{2,2} a_{3,2} & a_{2,3} a_{3,2}+a_{2,2} a_{3,3} & 2 a_{2,3} a_{3,3} \\ a_{3,1}^2 & a_{3,1} a_{3,2} & a_{3,1} a_{3,3} & a_{3,2}^2 & a_{3,2} a_{3,3} & a_{3,3}^2 \\ \end{array} \right) \\ \end{array} \]


관련된 항목들


사전 형태의 자료


리뷰, 에세이, 강의노트


매스매티카 파일 및 계산 리소스

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'symmetric'}, {'LEMMA': 'algebra'}]
원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=대칭곱_(symmetric_power)과_대칭텐서&oldid=52005"