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| + | * q-초기하급수에 대한 오일러공식의 특별한 경우<math>\prod_{n=0}^{\infty}(1+zq^n)=1+\sum_{n\geq 1}\frac{q^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n</math> 에서 <math>z=-q^{1/2}</math> 인 경우 | ||
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| − | * [[q-가우스 합]] 에서 얻어진 다음 결과를 이용 | + | * [[q-가우스 합]] 에서 얻어진 다음 결과를 이용 :<math>\delta_n=\frac{(y)_n(z)_n x^n}{y^n z^n}</math> :<math>\gamma_n=\frac{(x/y;q)_{\infty}(x/z;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}(x/yz;q)_{\infty}}\frac{(y)_n(z)_n x^n}{(x/y)_{n}(x/z)_{n}y^n z^n}</math> :<math>\gamma_{n}=\sum_{r=0}^{\infty}\frac{\delta_{n+r}}{(x)_{r+2n}(q)_{r}}</math> |
| − | * 다음의 특수한 경우 | + | * 다음의 특수한 경우<math>x=q, y\to\infty, z\to\infty</math>. |
| − | * | + | * 얻어진 켤레 베일리 쌍 (relative to 1)<math>\delta_n=q^{n^2}</math><math>\gamma_n=\frac{q^{n^2}}{(q)_{\infty}}</math> |
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| − | * 다음을 이용 '''[Slater51] | + | * 다음을 이용 '''[Slater51] '''(4.2)<math>\sum_{r=-[n/2]}^{r=[n/2]}\frac{(1-aq^{4r})(q^{-n})_{2r}a^{2r}q^{2nr+r}(d)_{q^2,r}(e)_{q^2,r}}{(1-a)(aq^{n+1})_{2r}d^re^r(aq^2/d)_{q^2,r}(aq^2/e)_{q^2,r}}=\frac{(q^2/a,aq/d,aq/e,aq^2/de;q^2)_{\infty}}{(q,q^2/d,q^2/e,a^2q/de;q^2)_{\infty}}\frac{(q)_{n}(aq)_{n}(a^2/de)_{q^2,n}}{(aq)_{q^2,n}(aq/d)_{n}(aq/e)_{n}}</math> |
| − | + | * 다음의 특수한 경우 '''(not confirmed)'''<math>a=q,d\to 0,e\to 0 </math><math>\frac{(q^2/a,aq/d,aq/e,aq^2/de;q^2)_{\infty}}{(q,q^2/d,q^2/e,a^2q/de;q^2)_{\infty}}\to 1</math><math>\frac{(q)_{n}(aq)_{n}(a^2/de)_{q^2,n}}{(aq)_{q^2,n}(aq/d)_{n}(aq/e)_{n}}\to \frac{(-1)^n (q)_n (a q)_n}{(a q,q^2)_n q^{2n} }</math> | |
| − | * 다음의 특수한 경우 | + | * 얻어진 베일리 쌍 (relative to 1)<math>\alpha_{0}=1</math>,<math>\alpha_{2r}=2</math>, <math>\alpha_{2r+1}=-2</math><math>\beta_n=\sum_{r=0}^{n}\frac{\alpha_r}{(x)_{n-r}(q)_{n+r}}=\sum_{r=0}^{n}\frac{\alpha_r}{(q)_{n-r}(q)_{n+r}}=\frac{(-1)^n}{(q^2;q^2)_{n}}</math> |
| − | * 얻어진 베일리 쌍< | ||
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| − | * 항등식 | + | * 항등식<math>\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{2n-1})=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^nq^{n^2}}{(q^2;q^2)_n}</math> |
| − | * [[베일리 쌍(Bailey pair)과 베일리 보조정리]] | + | * [[베일리 쌍(Bailey pair)과 베일리 보조정리]]<math>\sum_{n=0}^{\infty}\alpha_n\gamma_{n}=\sum_{n=0}^{\infty}\beta_n\delta_{n}</math><math>\sum_{n=0}^{\infty}\beta_n\delta_{n}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nq^{n^2}}{(q^2;q^2)_{n}}</math><math>\sum_{n=0}^{\infty}\alpha_n\gamma_{n}=\frac{1+2\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}q^{n^2}}{(q)_{\infty}}=\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{2n-1})</math> |
| − | * [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences] | + | * [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences] |
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2020년 12월 28일 (월) 04:22 기준 최신판
이 항목의 수학노트 원문주소
개요
- 항등식\(\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{2n-1})=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^nq^{n^2}}{(q^2;q^2)_n}\)
- q-초기하급수에 대한 오일러공식의 특별한 경우\(\prod_{n=0}^{\infty}(1+zq^n)=1+\sum_{n\geq 1}\frac{q^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n\) 에서 \(z=-q^{1/2}\) 인 경우
항등식의 분류
켤레 베일리 쌍의 유도
- q-가우스 합 에서 얻어진 다음 결과를 이용 \[\delta_n=\frac{(y)_n(z)_n x^n}{y^n z^n}\] \[\gamma_n=\frac{(x/y;q)_{\infty}(x/z;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}(x/yz;q)_{\infty}}\frac{(y)_n(z)_n x^n}{(x/y)_{n}(x/z)_{n}y^n z^n}\] \[\gamma_{n}=\sum_{r=0}^{\infty}\frac{\delta_{n+r}}{(x)_{r+2n}(q)_{r}}\]
- 다음의 특수한 경우\(x=q, y\to\infty, z\to\infty\).
- 얻어진 켤레 베일리 쌍 (relative to 1)\(\delta_n=q^{n^2}\)\(\gamma_n=\frac{q^{n^2}}{(q)_{\infty}}\)
베일리 쌍의 유도
- 다음을 이용 [Slater51] (4.2)\(\sum_{r=-[n/2]}^{r=[n/2]}\frac{(1-aq^{4r})(q^{-n})_{2r}a^{2r}q^{2nr+r}(d)_{q^2,r}(e)_{q^2,r}}{(1-a)(aq^{n+1})_{2r}d^re^r(aq^2/d)_{q^2,r}(aq^2/e)_{q^2,r}}=\frac{(q^2/a,aq/d,aq/e,aq^2/de;q^2)_{\infty}}{(q,q^2/d,q^2/e,a^2q/de;q^2)_{\infty}}\frac{(q)_{n}(aq)_{n}(a^2/de)_{q^2,n}}{(aq)_{q^2,n}(aq/d)_{n}(aq/e)_{n}}\)
- 다음의 특수한 경우 (not confirmed)\(a=q,d\to 0,e\to 0 \)\(\frac{(q^2/a,aq/d,aq/e,aq^2/de;q^2)_{\infty}}{(q,q^2/d,q^2/e,a^2q/de;q^2)_{\infty}}\to 1\)\(\frac{(q)_{n}(aq)_{n}(a^2/de)_{q^2,n}}{(aq)_{q^2,n}(aq/d)_{n}(aq/e)_{n}}\to \frac{(-1)^n (q)_n (a q)_n}{(a q,q^2)_n q^{2n} }\)
- 얻어진 베일리 쌍 (relative to 1)\(\alpha_{0}=1\),\(\alpha_{2r}=2\), \(\alpha_{2r+1}=-2\)\(\beta_n=\sum_{r=0}^{n}\frac{\alpha_r}{(x)_{n-r}(q)_{n+r}}=\sum_{r=0}^{n}\frac{\alpha_r}{(q)_{n-r}(q)_{n+r}}=\frac{(-1)^n}{(q^2;q^2)_{n}}\)
q-series 항등식
- 항등식\(\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{2n-1})=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^nq^{n^2}}{(q^2;q^2)_n}\)
- 베일리 쌍(Bailey pair)과 베일리 보조정리\(\sum_{n=0}^{\infty}\alpha_n\gamma_{n}=\sum_{n=0}^{\infty}\beta_n\delta_{n}\)\(\sum_{n=0}^{\infty}\beta_n\delta_{n}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nq^{n^2}}{(q^2;q^2)_{n}}\)\(\sum_{n=0}^{\infty}\alpha_n\gamma_{n}=\frac{1+2\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}q^{n^2}}{(q)_{\infty}}=\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{2n-1})\)