"란덴변환(Landen's transformation)"의 두 판 사이의 차이

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==란덴 변환==
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* [[타원적분(통합됨)|타원적분]]<br><math>K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}</math><br>
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* [[제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)]]:<math>K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}</math>
  
 
* 다음 변환 공식을 타원적분에 대한 란덴 변환이라 함.
 
* 다음 변환 공식을 타원적분에 대한 란덴 변환이라 함.
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:<math>K(\frac{2\sqrt{x}}{1+x})=(1+x)K(x)</math>
  
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<math>I(a,b) = \int _0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\sqrt{a^2 \cos^2(\theta) + b^2 \sin^2(\theta)}} \, d \theta</math>
 
  
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* <math>a> b > 0</math>에 대하여, 다음의 타원적분을 정의하자
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:<math>I(a,b) : = \int _0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\sqrt{a^2 \cos^2(\theta) + b^2 \sin^2(\theta)}} \, d \theta= \frac{1}{a} K(\frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a}) \label{ik}</math>
 
* 다음 변환에 의하여, 그 값이 변하지 않는다.
 
* 다음 변환에 의하여, 그 값이 변하지 않는다.
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:<math>(a,b) \mapsto (\frac{a+b}{2}, \sqrt {ab})</math>
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즉, 다음이 성립한다
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I(a,b)=I(\frac{a+b}{2}, \sqrt {ab}) \label{hom}
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* hypergeometric 급수와 타원 적분<br><math>F(a,b,c;x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(a)_k (b)_k}{(c)_k k!}x^k</math> 로 정의하면, <math>K(\sqrt{x})=\frac{\pi}{2}F(\frac{1}{2},\frac{1}{2},1;x)</math><br>
 
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*  이 경우, 란덴변환은 다음과 같이 표현됨.<br><math>F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;\frac{4x}{(1+x)^2})=(1+x)F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;x^2)</math><br>
 
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란덴변환을 통해, 타원적분과 AGM의 다음과 같은 관계가 유도 가능
 
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<math>K(k)=\frac{\pi}{2M(1,\sqrt{1-k^2})}</math>
 
  
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:<math>F(a,b,c;x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(a)_k (b)_k}{(c)_k k!}x^k</math> 로 정의하면, <math>K(\sqrt{x})=\frac{\pi}{2}F(\frac{1}{2},\frac{1}{2},1;x)</math>
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*  이 경우, 란덴변환은 다음과 같이 표현됨.
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:<math>F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;\frac{4x}{(1+x)^2})=(1+x)F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;x^2)</math>
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* [[초기하급수(Hypergeometric series)]] 항목 참조
  
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란덴변환을 무한히 반복하면,
 
  
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<math>I(a,b)=\int _0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sqrt{a^2 \cos^2(\theta) + b^2 \sin^2(\theta)}} \, d\theta = \int _0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\operatorname{AGM}(a,b)} \, d\theta = \frac{\pi}{2 \,\operatorname{AGM}(a,b)}</math><br><br><math>b^2 = a^2 (1 - k^2)</math> 로 두면,
 
  
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<math>I(a,b)=\frac{1}{a} \int _0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sqrt{1 - k^2 \sin^2(\theta)}} \, d\theta = \frac{1}{a} F\left( \frac{\pi}{2},k\right) = \frac{1}{a} K(k)</math>
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==란덴변환과 산술 기하 평균==
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* 란덴변환을 통해, 타원적분과 [[산술 기하 평균 (arithmetic-geometric mean)]]의 다음과 같은 관계를 유도 가능
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:<math>K(k)=\frac{\pi}{2M(1,\sqrt{1-k^2})}</math>
  
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<math>a=1, b=\sqrt{1-k^2}</math> 이면<br><math>K(k)=\frac{\pi}{2M(1,\sqrt{1-k^2})}</math>
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;증명
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\ref{hom}의 란덴변환을 무한히 반복하면, 다음을 얻는다
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:<math>I(a,b)=\int _0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sqrt{a^2 \cos^2(\theta) + b^2 \sin^2(\theta)}} \, d\theta = \int _0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{M(a,b)} \, d\theta = \frac{\pi}{2 \,M(a,b)}</math>
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\ref{ik}에서 <math>a=1, b=\sqrt{1-k^2}</math>로 두면 다음을 얻는다
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:<math>I(1,\sqrt{1-k^2})=K(k)</math>  
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따라서
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K(k)=\frac{\pi}{2M(1,\sqrt{1-k^2})}
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==메모==
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* http://mathoverflow.net/questions/87551/can-elliptic-integral-singular-values-generate-cubic-polynomials-with-integer-co
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<h5>관련된 다른 주제들</h5>
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==관련된 항목들==
  
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* [[산술기하평균함수(AGM)와 파이값의 계산|AGM과 파이값의 계산]]
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* [[산술기하평균함수(AGM)와 파이값의 계산]]
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* [[렘니스케이트(lemniscate) 곡선의 길이와 타원적분|lemniscate 적분]]
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* [[렘니스케이트(lemniscate) 곡선의 길이와 타원적분]]
  
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<h5>표준적인 도서 및 추천도서</h5>
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
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* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxYmdDUWc3V0NoNW8/edit
  
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* [http://www.amazon.com/PI-AGM-Analytic-Computational-Complexity/dp/047131515X Pi and the AGM]<br>
 
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** Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein
 
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* http://www.amazon.com/s/ref=nb_ss_gw?url=search-alias%3Dstripbooks&field-keywords=
 
  
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==관련도서==
  
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<h5>사전 참고자료</h5>
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* Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein [http://www.amazon.com/PI-AGM-Analytic-Computational-Complexity/dp/047131515X Pi and the AGM]
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Landen%27s_transformation
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==사전 형태의 참고자료==
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*  
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Landen's_transformation
  
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==리뷰, 에세이, 강의노트==
  
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<h5>참고할만한 자료</h5>
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* Gert Almkvist and Bruce Berndt [http://www.jstor.org/stable/2323302 Gauss, Landen, Ramanujan, the Arithmetic-Geometric Mean, Ellipses, π, and the Ladies Diary] The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 95, No. 7 (Aug. - Sep., 1988), pp. 585-608
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* Manna, Dante, and Victor H. Moll. 2007. “A Simple Example of a New Class of Landen Transformation.” arXiv:0707.3911 [math]. http://arxiv.org/abs/0707.3911. Amer. Math. Monthly 114 (2007), 232–241
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* Dante V. Manna and Victor H. Moll [http://www.msri.org/communications/books/Book55/files/13landen.pdf Landen survey]
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** 287-319p from <em style="">Probability, Geometry and Integrable Systems</em> For Henry McKean's Seventy-Fifth Birthday Edited by Mark Pinsky and Björn Birnir
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[[분류:타원적분]]
  
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* [http://www.jstor.org/stable/2323302 Gauss, Landen, Ramanujan, the Arithmetic-Geometric Mean, Ellipses, π, and the Ladies Diary]<br>
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==메타데이터==
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** Gert Almkvist and Bruce Berndt
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===위키데이터===
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** <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 95, No. 7 (Aug. - Sep., 1988), pp. 585-608
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* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q11347570 Q11347570]
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* [http://arxiv.org/abs/0707.3911 A simple example of a new class of Landen transformations]<br>
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===Spacy 패턴 목록===
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** D Manna, VH Moll
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* [{'LOWER': 'landen'}, {'LOWER': "'s"}, {'LEMMA': 'transformation'}]
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** Amer. Math. Monthly 114 (2007), 232–241
 
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* [http://www.msri.org/communications/books/Book55/files/13landen.pdf Landen survey]<br>
 
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** Dante V. Manna and Victor H. Moll
 
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** 287-319p from <em style="">Probability, Geometry and Integrable Systems</em> For Henry McKean's Seventy-Fifth Birthday Edited by Mark Pinsky and Björn Birnir
 
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* http://www.msri.org/communications/books/Book55/files/13landen.pdf
 

2021년 2월 17일 (수) 04:04 기준 최신판

란덴 변환

버전1

  • 다음 변환 공식을 타원적분에 대한 란덴 변환이라 함.

\[K(\frac{2\sqrt{x}}{1+x})=(1+x)K(x)\]



버전2

  • \(a> b > 0\)에 대하여, 다음의 타원적분을 정의하자

\[I(a,b) : = \int _0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\sqrt{a^2 \cos^2(\theta) + b^2 \sin^2(\theta)}} \, d \theta= \frac{1}{a} K(\frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a}) \label{ik}\]

  • 다음 변환에 의하여, 그 값이 변하지 않는다.

\[(a,b) \mapsto (\frac{a+b}{2}, \sqrt {ab})\] 즉, 다음이 성립한다 \[ I(a,b)=I(\frac{a+b}{2}, \sqrt {ab}) \label{hom} \]


버전3

  • hypergeometric 급수와 타원 적분

\[F(a,b,c;x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(a)_k (b)_k}{(c)_k k!}x^k\] 로 정의하면, \(K(\sqrt{x})=\frac{\pi}{2}F(\frac{1}{2},\frac{1}{2},1;x)\)

  • 이 경우, 란덴변환은 다음과 같이 표현됨.

\[F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;\frac{4x}{(1+x)^2})=(1+x)F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;x^2)\]


란덴변환과 산술 기하 평균

\[K(k)=\frac{\pi}{2M(1,\sqrt{1-k^2})}\]

증명

\ref{hom}의 란덴변환을 무한히 반복하면, 다음을 얻는다 \[I(a,b)=\int _0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sqrt{a^2 \cos^2(\theta) + b^2 \sin^2(\theta)}} \, d\theta = \int _0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{M(a,b)} \, d\theta = \frac{\pi}{2 \,M(a,b)}\] \ref{ik}에서 \(a=1, b=\sqrt{1-k^2}\)로 두면 다음을 얻는다 \[I(1,\sqrt{1-k^2})=K(k)\] 따라서 \[ K(k)=\frac{\pi}{2M(1,\sqrt{1-k^2})} \] ■


메모


관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스


관련도서


사전 형태의 참고자료


리뷰, 에세이, 강의노트

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'landen'}, {'LOWER': "'s"}, {'LEMMA': 'transformation'}]
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