"렘니스케이트(lemniscate) 곡선의 길이와 타원적분"의 두 판 사이의 차이

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<h5>간단한 소개</h5>
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==개요==
  
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[/pages/4176465/attachments/2110541 MSP71919784049c09bb98700001095e8fadhf5gc4d.gif]
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[[파일:렘니스케이트(lemniscate) 곡선의 길이와 타원적분1.png]]
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* 극좌표계에서 방정식 <math>r^2=\cos2\theta</math> 로 주어진 곡선을 베르누이의 렘니스케이트 곡선이라 부름.
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* 카테시안 좌표계에서는 <math>(x^2 + y^2)^2=x^2 - y^2</math>로 주어진다
  
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* 극좌표계에서 방정식 <math>r^2=\cos2\theta</math> 로 주어진 곡선을 베르누이의 렘니스케이트 곡선이라 부름.
 
  
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==렘니스케이트 곡선의 둘레의 길이와 타원적분==
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;정리
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렘니스케이트 곡선의 둘레의 길이 <math>L</math>은 [[타원적분]]으로 표현되며 다음이 성립한다
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:<math>L=4\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=2\sqrt{2}K(\frac{1}{\sqrt{2}})=5.2441\cdots</math>
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여기서 <math>K</math>는 [[제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)]]
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:<math>K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}.</math>
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또한 다음이 성립한다
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:<math>L=B(1/2,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=\frac{\Gamma(1/4)^2}{\sqrt{2\pi}}</math>
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여기서 <math>B</math>는 [[오일러 베타적분(베타함수)]]이고, <math>\Gamma</math>는 [[감마함수]]
  
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;증명
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렘니스케이트 곡선은 <math>x=r(\theta)\cos\theta,y=r(\theta)\sin\theta</math>로 매개화되며, 다음을 확인할 수 있다
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:<math>
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r'(\theta)=-\frac{\sin 2\theta}{r(\theta)}
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</math>
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매개화를 이용하여, 둘레의 길이를 계산하면 다음을 얻는다
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:<math>L=4\int_{0}^{\pi/4}\sqrt{r'(\theta)^2+r(\theta)^2}\,d\theta=4\int_{0}^{\pi/4}\sqrt{\frac{\sin^2 2\theta}{r^2(\theta)}+r^2(\theta)}\,d\theta=4\int_{0}^{\pi/4}\frac{1}{\sqrt{\cos 2\theta}}\,d\theta</math>
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이 때, <math>\cos 2\theta=\cos^2{\phi}</math> 를 이용하여 치환하면,
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:<math>d\theta=\frac{\sin\phi\cos\phi}{\sqrt{1-\cos^4\phi}}\,d\phi=\frac{\cos\phi}{\sqrt{1+\cos^2\phi}}\,d\phi,</math>
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:<math>L=4\int_0^{\pi/2}\frac{1}{\sqrt{1+\cos^2 \phi}}\,d\phi=2\sqrt{2}\int_0^{\pi/2}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{2}\sin^2 \phi}}\,d\phi \label{eq1}</math>
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\ref{eq1}로부터 다음을 얻는다
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:<math>
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L=2\sqrt{2}K(1/\sqrt{2})
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</math>
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\ref{eq1}에서 <math>x=\cos\phi</math>로 치환하면,
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:<math>L=4\int_0^{\pi/2}\frac{1}{\sqrt{1+\cos^2 \phi}}\,d\phi=4\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=B(1/2,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=\frac{\Gamma(1/4)^2}{\sqrt{2\pi}}=5.2441</math>
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<h5>둘레의 길이와 타원적분</h5>
 
  
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* 렘니스케이트의 둘레의 길이 <math>L</math>은 [[타원적분(통합됨)|타원적분]]으로 표현되며 다음과 같은 과정을 통해 얻어짐
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==가우스의 렘니스케이트 상수==
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* 렘니스케이트 상수 <math>\omega</math>를 다음과 같이 정의
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:<math>\omega:=2\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=2.62\cdots</math>
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* 수론적 성질에 대해서는 [[가우스의 렘니스케이트 상수]] 항목 참조
  
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<math>x=r(\theta)\cos\theta,y=r(\theta)\sin\theta</math>
 
  
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<math>r'(\theta)=-\frac{\sin 2\theta}{r(\theta)}</math>
 
  
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<math>L=4\int_{0}^{\pi/4}\sqrt{r'(\theta)^2+r(\theta)^2}\,d\theta=4\int_{0}^{\pi/4}\sqrt{\frac{\sin^2 2\theta}{r^2(\theta)}+r^2(\theta)}\,d\theta=4\int_{0}^{\pi/4}\sqrt{\frac{1}{\cos^2 2\theta}}\,d\theta</math>
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==재미있는 사실==
  
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<math>=4\int_{0}^{\pi/4}\frac{1}{\sqrt{\cos 2\theta}}\,d\theta</math>
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* 곡선의 모양이 무한대 기호와 같음
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* 무한대는 그 한계가 없기에 리본을 뜻하는 'lemniscus'라는 말로 불릴 때도 있었으며, 그 때문에 무한대 기호가 누운 8자 모양이 되었다는 설이 있음
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[[파일:렘니스케이트 반지.png|300px]]
  
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<math>\cos 2\theta=\cos^2{\phi}</math> 를 이용하여 치환하면,
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==역사==
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* http://www.gormagon.org/2005/04/17/the-lemniscate-infinity-symbol/
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* 1684  베르누이 'Acta Eruditorum'
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* 18세기 파그나노, 오일러, 르장드르의 타원적분 연구
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* 1798~1799년 가우스가 <math>\pi/\omega</math>가 1과 <math>\sqrt2</math>의 [[산술 기하 평균 (arithmetic-geometric mean)]]이 됨을 관찰
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* [[수학사 연표]]
  
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<math>d\theta=\frac{\sin\phi\cos\phi}{\sqrt{1-\cos^4\phi}}\,d\phi=\frac{\cos\phi}{\sqrt{1+\cos^2\phi}}\,d\phi</math>
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==관련된 항목들==
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* [[산술기하평균함수(AGM)와 파이값의 계산]]
 +
* [[타원곡선의 주기]]
 +
* [[Chowla-셀베르그 공식]]
 +
* [[무리수와 초월수]]
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* [[아이젠슈타인 기약다항식 판정법]]
  
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<math>L=4\int_0^{\pi/2}\frac{1}{\sqrt{1+\cos^2 \phi}}\,d\phi=2\sqrt{2}\int_0^{\pi/2}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{2}\sin^2 \phi}}\,d\phi=2\sqrt{2}K(1/\sqrt{2})</math>
 
  
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<math>x=\cos\phi</math> 로 치환하면,
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==수학용어번역==
  
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<math>L=4\int_0^{\pi/2}\frac{1}{\sqrt{1+\cos^2 \phi}}\,d\phi=4\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=\frac{\Gamma(1/4)^2}{\sqrt{2\pi}}=5.2441\cdots</math>
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* [http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=lemniscate http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=lemniscate]
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* Latin lemniscus meaning "ribbon"
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* 번역용어제안
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** 쌍타원, 겹타원, 이중타원, 나비리본
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** '베르누이의 연주형'(lemniscate) [http://www.google.com/dictionary?langpair=ko%7Cko&q=%EC%97%B0%EC%A3%BC http://www.google.com/dictionary?langpair=ko|ko&q=연주]
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* {{수학용어집|url=lemniscate}}
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<h5>가우스의 렘니스케이트 상수</h5>
 
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* <math>\omega:=L/2=2.62\cdots</math> 를 가우스의 렘니스케이트 상수라 함<br><math>L=2\omega=4\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=B(1/2,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=\frac{\Gamma(1/4)^2}{\sqrt{2\pi}}=5.24\cdots</math><br>
 
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* [[타원곡선]] <math>y^2=x^3-x</math> 의 주기이며 초월수임 
 
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<h5>원주율과의 비교</h5>
 
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*  가우스가 계산한 값은 원의 둘레의 길이와 렘니스케이트의 둘레의 길이의 비율<br><math>\frac{\pi}{2}=\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=1.57\cdots</math><br><math>\frac{\omega}{2}=\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=1.31\cdots</math><br><math>\frac{\pi }{\omega}=1.1981402347\cdots</math> 가 얻어짐<br>
 
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*  한편<math>AGM(a,b)</math> 은 두 수 a, b의 산술기하평균을 말하는 것으로 다음과 같은 점화식의 극한으로 정의됨.<br><math>a_0=a</math>, <math>b_0=b</math><br><math>a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}</math>, <math>b_{n+1}=\sqrt{a_nb_n}</math><br>
 
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* 가우스의 계산으로는 <math>AGM(1,\sqrt2)</math>과 같음
 
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<h5>가우스의 계산 타원적분을 통한 증명</h5>
 
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<math>\frac{\omega}{2}=\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-\frac{1}{2}\sin^2\theta}}=\frac{1}{\sqrt{2}}K(\frac{1}{\sqrt2})</math>
 
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* [[란덴변환(Landen's transformation)|랜든변환(Landen's transformation)]] 에서 얻어진 결과에서 
 
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 <math>K(\frac{1}{\sqrt2})=\frac{\pi}{2M(1,\frac{1}{\sqrt2})}</math>
 
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* 두 결과를 이용하면 
 
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<math>\frac{\pi}{\omega}=\frac{2K(\frac{1}{\sqrt2}){M(1,\frac{1}{\sqrt2})}}{\sqrt{2}K(\frac{1}{\sqrt2})} = {\sqrt{2}{M(1,\frac{1}{\sqrt2})}=M(1,{\sqrt2})</math>
 
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<math>K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}</math>
 
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* [[#|타원적분]] 참조
 
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">재미있는 사실</h5>
 
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* 곡선의 모양이 무한대 기호와 같음<br>
 
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* 무한대는 그 한계가 없기에 리본을 뜻하는 'lemniscus'라는 말로 불릴 때도 있었으며, 그로인해 무한대 기호가 누운 8자 모양이 되었다는 설이 있음<br>
 
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">역사</h5>
 
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*  1798~1799년의 시기에 가우스는 이 곡선의 길이와 관련하여 다음과 같은 기록을 일기에 남김. ([http://books.google.com/books?id=QwwcmweJCDQC&pg=PA99&lpg=PA99&dq=gauss+new+analysis+lemniscate&source=web&ots=zguJpj77J9&sig=fnWL0QJ09eHIqPElVjrSoXaQW5M#PPA99,M1 Pi-unleashed, 99p])<br>
 
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<blockquote style="margin: 0px; padding: 0px 0px 0px 38px; line-height: 2em; background-color: rgb(239, 239, 239); background-position: 14px 4px;">
 
−
We have gained some very elegant details about the lemniscate, which have exceeded all expectations, and indeed using methods which open up an entirely new field. That the AGM is equal to <math>\frac{\pi }{\omega}</math> between 1 and <math>\sqrt{2}</math> we have confirmed up to the 11th decimal digit; if this is proven, then a truly new field of analysis stands before us.
 
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</blockquote>
 
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* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
 
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">상위 주제</h5>
 
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* [[타원적분|타원적분, 타원함수, 타원곡선]]<br>
 
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** [[란덴변환(Landen's transformation)]]<br>
 
−
** [[타원곡선]]<br>
 
−
** [[타원적분(통합됨)|타원적분]]<br>
 
−
** [[타원함수]]<br>
 
−
** [[페르마의 마지막 정리]]<br>
 
−
* [[감마함수]]<br>
 
−
* [[무리수와 초월수]]<br>
 
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련된 다른 주제들</h5>
 
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* [[#|AGM과 파이값의 계산]]<br>
 
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
  
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">수학용어번역</h5>
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* https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxZjRmZjkwMjgtNGY0Mi00MzllLWExMGQtZjExZjIzZWMyNDRk&sort=name&layout=list&num=50
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−
* [http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=lemniscate http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=lemniscate]
 
−
* Latin lemniscus meaning "ribbon"
 
−
*  번역용어안<br>
 
−
** 쌍타원, 겹타원, 이중타원, 나비리본
 
−
* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
 
−
** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=lemniscate
 
−
* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
 
  
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">사전 형태의 자료</h5>
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==사전 형태의 자료==
  
−
* [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%A0%98%EB%8B%88%EC%8A%A4%EC%BC%80%EC%9D%B4%ED%8A%B8 http://ko.wikipedia.org/wiki/렘니스케이트]
+
* http://ko.wikipedia.org/wiki/렘니스케이트
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/lemniscate
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/lemniscate
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Infinity
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Infinity
−
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=Lemniscate
+
* http://en.wikipedia.org/wiki/Gauss's_constant
−
* [http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate_0%5E%7B1%7D+1/sqrt%281-x%5E4%29+dx http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate_0^{1}+1/sqrt(1-x^4)+dx]
 
−
* [http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate_1%5E%7Binfty%7D+1/sqrt%28x%5E3-x%29+dx http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate_1^{infty}+1/sqrt(x^3-x)+dx]
 
−
* [http://www.wolframalpha.com/input/?i=Beta%281/2,1/4%29 http://www.wolframalpha.com/input/?i=Beta(1/2,1/4)]
 
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련도서 및 추천도서</h5>
 
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−
*  Mathematics by experiment: plausible reasoning in the 21st century<br>
 
−
** M. Borwein and D. H. Bailey, , A K Peters, Natick, MA, 2003.
 
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*  도서내검색<br>
 
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** http://books.google.com/books?q=
 
−
** [http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=%EB%A0%98%EB%8B%88%EC%8A%A4%EC%BC%80%EC%9D%B4%ED%8A%B8 http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=렘니스케이트]
 
−
** http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=
 
−
*  도서검색<br>
 
−
** http://www.amazon.com/s/ref=nb_ss_gw?url=search-alias%3Dstripbooks&field-keywords=
 
−
** http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=
 
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련논문과 에세이</h5>
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==관련도서==
 +
*  Mathematics by experiment: plausible reasoning in the 21st century
 +
** M. Borwein and D. H. Bailey, , A K Peters, Natick, MA, 2003.
  
−
* [http://www.ias.ac.in/resonance/Apr2004/Apr2004p21-29.htm From Lintearia to Lemniscate I : physics to mathematics]
 
−
* [http://www.ias.ac.in/resonance/June2004/June2004p11-20.html From Lintearia to Lemniscate II: Gauss and Landen’s Work]<br>
 
−
** R Sridharan
 
−
* [http://www.springerlink.com/content/t32h69374h887w33/ The Lemniscate and Fagnano's Contributions to Elliptic Integrals]<br>
 
−
** AYOUB R
 
  
−
 
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==리뷰, 에세이, 강의노트==
 +
* [http://www.ias.ac.in/resonance/Apr2004/Apr2004p21-29.htm From Lintearia to Lemniscate I : physics to mathematics] R Sridharan
 +
* [http://www.ias.ac.in/resonance/June2004/June2004p11-20.html From Lintearia to Lemniscate II: Gauss and Landen’s Work] R Sridharan
 +
* [http://www.springerlink.com/content/t32h69374h887w33/ The Lemniscate and Fagnano's Contributions to Elliptic Integrals]Raymond Ayoub, Archive for History of Exact Sciences, 1984
  
−
 
+
[[분류:곡선]]
 +
[[분류:타원적분]]
  
−
*  매쓰매티카 notebook (ver 6.0)<br>
+
==메타데이터==
−
** [[2090560/attachments/1364930|Lemiscate,_pi_and_AGM.nb]]
+
===위키데이터===
 +
* ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q10545374 Q10545374]
 +
===Spacy 패턴 목록===
 +
* [{'LEMMA': 'lemniscate'}]

2021년 2월 17일 (수) 04:04 기준 최신판

개요

렘니스케이트(lemniscate) 곡선의 길이와 타원적분1.png

  • 극좌표계에서 방정식 \(r^2=\cos2\theta\) 로 주어진 곡선을 베르누이의 렘니스케이트 곡선이라 부름.
  • 카테시안 좌표계에서는 \((x^2 + y^2)^2=x^2 - y^2\)로 주어진다


렘니스케이트 곡선의 둘레의 길이와 타원적분

정리

렘니스케이트 곡선의 둘레의 길이 \(L\)은 타원적분으로 표현되며 다음이 성립한다 \[L=4\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=2\sqrt{2}K(\frac{1}{\sqrt{2}})=5.2441\cdots\] 여기서 \(K\)는 제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind) \[K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}.\] 또한 다음이 성립한다 \[L=B(1/2,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=\frac{\Gamma(1/4)^2}{\sqrt{2\pi}}\] 여기서 \(B\)는 오일러 베타적분(베타함수)이고, \(\Gamma\)는 감마함수

증명

렘니스케이트 곡선은 \(x=r(\theta)\cos\theta,y=r(\theta)\sin\theta\)로 매개화되며, 다음을 확인할 수 있다 \[ r'(\theta)=-\frac{\sin 2\theta}{r(\theta)} \] 매개화를 이용하여, 둘레의 길이를 계산하면 다음을 얻는다 \[L=4\int_{0}^{\pi/4}\sqrt{r'(\theta)^2+r(\theta)^2}\,d\theta=4\int_{0}^{\pi/4}\sqrt{\frac{\sin^2 2\theta}{r^2(\theta)}+r^2(\theta)}\,d\theta=4\int_{0}^{\pi/4}\frac{1}{\sqrt{\cos 2\theta}}\,d\theta\] 이 때, \(\cos 2\theta=\cos^2{\phi}\) 를 이용하여 치환하면, \[d\theta=\frac{\sin\phi\cos\phi}{\sqrt{1-\cos^4\phi}}\,d\phi=\frac{\cos\phi}{\sqrt{1+\cos^2\phi}}\,d\phi,\] \[L=4\int_0^{\pi/2}\frac{1}{\sqrt{1+\cos^2 \phi}}\,d\phi=2\sqrt{2}\int_0^{\pi/2}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{2}\sin^2 \phi}}\,d\phi \label{eq1}\] \ref{eq1}로부터 다음을 얻는다 \[ L=2\sqrt{2}K(1/\sqrt{2}) \] \ref{eq1}에서 \(x=\cos\phi\)로 치환하면, \[L=4\int_0^{\pi/2}\frac{1}{\sqrt{1+\cos^2 \phi}}\,d\phi=4\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=B(1/2,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=\frac{\Gamma(1/4)^2}{\sqrt{2\pi}}=5.2441\] ■


가우스의 렘니스케이트 상수

  • 렘니스케이트 상수 \(\omega\)를 다음과 같이 정의

\[\omega:=2\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=2.62\cdots\]


재미있는 사실

  • 곡선의 모양이 무한대 기호와 같음
  • 무한대는 그 한계가 없기에 리본을 뜻하는 'lemniscus'라는 말로 불릴 때도 있었으며, 그 때문에 무한대 기호가 누운 8자 모양이 되었다는 설이 있음

렘니스케이트 반지.png

역사

관련된 항목들


수학용어번역


매스매티카 파일 및 계산 리소스


사전 형태의 자료


관련도서

  • Mathematics by experiment: plausible reasoning in the 21st century
    • M. Borwein and D. H. Bailey, , A K Peters, Natick, MA, 2003.


리뷰, 에세이, 강의노트

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LEMMA': 'lemniscate'}]
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