"르장드르 다항식"의 두 판 사이의 차이
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| + | * [[자코비 다항식]] <math>P_n^{(\alpha ,\beta )}(x)</math>의 특수한 경우로 얻어지며 <math>P_n(x)=P_n^{(0,0)}(x)</math>이 성립 | ||
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| + | * 같은 미분방정식을 다음과 같이 [[초기하 미분방정식(Hypergeometric differential equations)]]형태로 쓸 수 있음:<math>(1-x^2)\,y'' -2xy' + n(n+1)y = 0,\,</math> | ||
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| + | :<math>\int_{-1}^1Q^{(n)}(x)f(x)\,dx=-\int_{-1}^1Q^{(n-1)}(x)f'(x)\,dx=\cdots=(-1)^n \int_{-1}^1 Q(x)f^{(n)}(x)\,dx</math> | ||
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| − | + | :<math>\int_{-1}^1 (x^2-1)^n \,dx=(-1)^n\int_{-1}^1 (1-x^2)^n \,dx=(-1)^n 2^{2n+1}\int_0^1 t^n(1-t)^n\,dt=(-1)^n 2^{2n+1} B(n+1,n+1)=(-1)^n2^{2n+1}\frac{(n!)^2}{(2n+1)!}</math> | |
| − | < | + | 여기서 <math>B(x,y) = \int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt</math> 는 [[오일러 베타적분(베타함수)]] 이다. |
| − | + | 따라서 | |
| + | :<math>\int_{-1}^{1}P_{n}(x)P_{n}(x)\,dx=\frac{2}{2n+1}.</math>■ | ||
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| + | 1 & x \\ | ||
| + | 2 & \frac{1}{2} \left(3 x^2-1\right) \\ | ||
| + | 3 & \frac{1}{2} \left(5 x^3-3 x\right) \\ | ||
| + | 4 & \frac{1}{8} \left(35 x^4-30 x^2+3\right) \\ | ||
| + | 5 & \frac{1}{8} \left(63 x^5-70 x^3+15 x\right) \\ | ||
| + | 6 & \frac{1}{16} \left(231 x^6-315 x^4+105 x^2-5\right) \\ | ||
| + | 7 & \frac{1}{16} \left(429 x^7-693 x^5+315 x^3-35 x\right) \\ | ||
| + | 8 & \frac{1}{128} \left(6435 x^8-12012 x^6+6930 x^4-1260 x^2+35\right) \\ | ||
| + | 9 & \frac{1}{128} \left(12155 x^9-25740 x^7+18018 x^5-4620 x^3+315 x\right) \\ | ||
| + | 10 & \frac{1}{256} \left(46189 x^{10}-109395 x^8+90090 x^6-30030 x^4+3465 x^2-63\right) \\ | ||
| + | \end{array} | ||
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| − | + | ==역사== | |
| − | + | * [[수학사 연표]] | |
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| − | + | ==메모== | |
| − | + | * http://sos440.tistory.com/203 | |
| + | * associated Legendre polynomial | ||
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| − | + | ==관련된 항목들== | |
| + | * [[자코비 다항식]] | ||
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| − | + | ==매스매티카 파일 및 계산 리소스== | |
| + | * https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxT09yS1Rtb2RCYm8/edit | ||
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| − | * | + | ==사전 형태의 자료== |
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| + | * http://ko.wikipedia.org/wiki/르장드르_다항식 | ||
* http://en.wikipedia.org/wiki/Legendre_polynomials | * http://en.wikipedia.org/wiki/Legendre_polynomials | ||
| + | * http://en.wikipedia.org/wiki/Associated_Legendre_polynomials | ||
* http://mathworld.wolfram.com/LegendrePolynomial.html | * http://mathworld.wolfram.com/LegendrePolynomial.html | ||
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* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions] | * [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions] | ||
| − | * [http:// | + | ** [http://dlmf.nist.gov/14 Chapter 14 Legendre and Related Functions] |
| − | + | [[분류:특수함수]] | |
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| − | + | == 관련논문 == | |
| − | + | * Yajun Zhou, Two Definite Integrals Involving Products of Four Legendre Functions, http://arxiv.org/abs/1603.03547v1 | |
| − | + | ==메타데이터== | |
| − | + | ===위키데이터=== | |
| − | * | + | * ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q215405 Q215405] |
| − | + | ===Spacy 패턴 목록=== | |
| − | + | * [{'LOWER': 'legendre'}, {'LEMMA': 'polynomial'}] | |
| − | * [ | ||
2021년 2월 17일 (수) 04:41 기준 최신판
개요
- 르장드르 미분방정식의 해로 얻어지는 다항식 \(P_n(x), \, n\in \mathbb{Z}_{\geq 0}\)
- 구간 \([-1,1]\)에서 \(\text{L}^2\) 내적에 의해 직교성을 가짐
- 물리학에서 많이 등장하는 다항식의 하나
- 자코비 다항식 \(P_n^{(\alpha ,\beta )}(x)\)의 특수한 경우로 얻어지며 \(P_n(x)=P_n^{(0,0)}(x)\)이 성립
르장드르 미분방정식
- 미분방정식\[{d \over dx} \left[ (1-x^2) {d \over dx} P_n(x) \right] + n(n+1)P_n(x) = 0\]
- 스텀-리우빌 이론 을 적용할 수 있음
- 같은 미분방정식을 다음과 같이 초기하 미분방정식(Hypergeometric differential equations)형태로 쓸 수 있음\[(1-x^2)\,y'' -2xy' + n(n+1)y = 0,\,\]
로드리게즈 공식
- 르장드르 다항식을 얻는 직접적인 방법
\[P_n(x) =\frac{1}{2^n n!} {d^n \over dx^n } \left[ (x^2 -1)^n \right]\]
3항 점화식
\(P_0(x)=1\), \(P_1(x)=x\)
\((n+1) P_{n+1}(x) = (2n+1) x P_n(x) - n P_{n-1}(x)\)
생성함수
- 생성함수\[\frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}} = \sum_{n=0}^\infty P_n(x) t^n = 1+x t+\left(-\frac{1}{2}+\frac{3 x^2}{2}\right) t^2+\left(-\frac{3 x}{2}+\frac{5 x^3}{2}\right) t^3+\frac{1}{8} \left(3-30 x^2+35 x^4\right) t^4+\frac{1}{8} \left(15 x-70 x^3+63 x^5\right) t^5+\cdots\]
부분적분에의 응용
- 정리
\(n\geq 1\) 일 때, n번 미분가능한 함수 \(f\)에 대하여 다음이 성립한다. \[\int_{-1}^1P_n(x)f(x)\,dx=\frac{(-1)^{n}}{2^n n!}\int_{-1}^1 (x^2-1)^nf^{(n)}(x)\,dx.\]
- 증명
\(Q(x)=(x^2-1)^n\) 라 두자.
\(0\leq k < n\) 일 때 \(Q^{(k)}(-1)=Q^{(k)}(1)=0\)이므로. 부분적분을 반복적용하면 다음을 얻는다. \[\int_{-1}^1Q^{(n)}(x)f(x)\,dx=-\int_{-1}^1Q^{(n-1)}(x)f'(x)\,dx=\cdots=(-1)^n \int_{-1}^1 Q(x)f^{(n)}(x)\,dx\]
\(P_n(x) =\frac{Q^{(n)}(x)}{2^n n!}\) 이므로 증명되었다. ■
직교성
- 정리
\[\int_{-1}^{1}P_{n}(x)P_{m}(x)\,dx=\frac{2}{2n+1}\delta_{n,m}\]
- 증명
\(n>m\) 이라 가정하자. \[\int_{-1}^{1}P_{n}(x)P_{m}(x)\,dx=\frac{(-1)^{n}}{2^n n!}\int_{-1}^1 x^{n}(x^2-1)^nP_{m}^{(n)}(x)\,dx\]
위에서 증명한 성질을 응용하였다.
한편 \(P_{m}(x)\)는 차수가 m인 다항식이므로, n번 미분하면 항등적으로 0이 된다. 따라서, \[\int_{-1}^{1}P_{n}(x)P_{m}(x)\,dx=0\]
이제 \(n=m\) 이라 가정하자.
\[\int_{-1}^{1}P_{n}(x)P_{n}(x)\,dx=\frac{(-1)^{n}}{2^n n!}\int_{-1}^1 (x^2-1)^nP_{n}^{(n)}(x)\,dx=\frac{(-1)^{n}}{2^n n!}\frac{(2n)!}{2^n n!}\int_{-1}^1 (x^2-1)^n\,dx\]
한편,
\[\int_{-1}^1 (x^2-1)^n \,dx=(-1)^n\int_{-1}^1 (1-x^2)^n \,dx=(-1)^n 2^{2n+1}\int_0^1 t^n(1-t)^n\,dt=(-1)^n 2^{2n+1} B(n+1,n+1)=(-1)^n2^{2n+1}\frac{(n!)^2}{(2n+1)!}\]
여기서 \(B(x,y) = \int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt\) 는 오일러 베타적분(베타함수) 이다.
따라서 \[\int_{-1}^{1}P_{n}(x)P_{n}(x)\,dx=\frac{2}{2n+1}.\]■
목록
\[ \begin{array}{c|c} n & P_n(x) \\ \hline 0 & 1 \\ 1 & x \\ 2 & \frac{1}{2} \left(3 x^2-1\right) \\ 3 & \frac{1}{2} \left(5 x^3-3 x\right) \\ 4 & \frac{1}{8} \left(35 x^4-30 x^2+3\right) \\ 5 & \frac{1}{8} \left(63 x^5-70 x^3+15 x\right) \\ 6 & \frac{1}{16} \left(231 x^6-315 x^4+105 x^2-5\right) \\ 7 & \frac{1}{16} \left(429 x^7-693 x^5+315 x^3-35 x\right) \\ 8 & \frac{1}{128} \left(6435 x^8-12012 x^6+6930 x^4-1260 x^2+35\right) \\ 9 & \frac{1}{128} \left(12155 x^9-25740 x^7+18018 x^5-4620 x^3+315 x\right) \\ 10 & \frac{1}{256} \left(46189 x^{10}-109395 x^8+90090 x^6-30030 x^4+3465 x^2-63\right) \\ \end{array} \]
역사
메모
- http://sos440.tistory.com/203
- associated Legendre polynomial
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/르장드르_다항식
- http://en.wikipedia.org/wiki/Legendre_polynomials
- http://en.wikipedia.org/wiki/Associated_Legendre_polynomials
- http://mathworld.wolfram.com/LegendrePolynomial.html
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
관련논문
- Yajun Zhou, Two Definite Integrals Involving Products of Four Legendre Functions, http://arxiv.org/abs/1603.03547v1
메타데이터
위키데이터
- ID : Q215405
Spacy 패턴 목록
- [{'LOWER': 'legendre'}, {'LEMMA': 'polynomial'}]