"뫼비우스 반전공식"의 두 판 사이의 차이
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* [http://www.plu.edu/%7Eedgartj/posetMobius.pdf http://www.plu.edu/~edgartj/posetMobius.pdf] | * [http://www.plu.edu/%7Eedgartj/posetMobius.pdf http://www.plu.edu/~edgartj/posetMobius.pdf] | ||
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* [http://www.kss.or.kr/pds/sec/dic.aspx 한국통계학회 통계학 용어 온라인 대조표] | * [http://www.kss.or.kr/pds/sec/dic.aspx 한국통계학회 통계학 용어 온라인 대조표] | ||
* [http://www.nktech.net/science/term/term_l.jsp?l_mode=cate&s_code_cd=MA 남·북한수학용어비교] | * [http://www.nktech.net/science/term/term_l.jsp?l_mode=cate&s_code_cd=MA 남·북한수학용어비교] | ||
| − | * [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 | + | * [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판] |
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* [http://eqworld.ipmnet.ru/ The World of Mathematical Equations] | * [http://eqworld.ipmnet.ru/ The World of Mathematical Equations] | ||
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* E. A. Bender and J. R. Goldman On the Applications of Mobius Inversion in Combinatorial Analysis www.jstor.org/stable/2319793 | * E. A. Bender and J. R. Goldman On the Applications of Mobius Inversion in Combinatorial Analysis www.jstor.org/stable/2319793 | ||
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* http://dx.doi.org/ | * http://dx.doi.org/ | ||
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| − | + | [[분류:조합수학]] | |
| − | * | + | ==메타데이터== |
| − | + | ===위키데이터=== | |
| − | * | + | * ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q371133 Q371133] |
| + | ===Spacy 패턴 목록=== | ||
| + | * [{'LOWER': 'incidence'}, {'LEMMA': 'algebra'}] | ||
2021년 2월 17일 (수) 04:43 기준 최신판
개요
뫼비우스 함수
- poset \(V\)에 대하여 다음 세 조건을 만족시키는 함수 \(\mu : V\times V \to R\) (R은 commutative ring with unity) 를 poset의 뫼비우스 함수라 부른다\[\mu(x,x)=1\]\[x<z\] 일 때, \(\sum_{x\leq y \leq z} \mu(x,y)=0\) (또는 \(\mu(x,z)=-\sum_{x\leq y < z} \mu(x,y)\) 이외의 경우에는 \(\mu(x,y) = 0\)
- Z행렬의 역행렬
- 수론적 함수(산술함수, arithmetic function) 의 뫼비우스 함수는 자연수 집합에 약수 관계로 정의되는 poset에 대한 뫼비우스 함수이다
뫼비우스 반전공식
- poset \(V\)에 정의된 함수 \(f : V \to R, g : V \to R\) 를 생각하자.\[g(x)=\sum_{z \leq x} f(z)\] 이면 \(f(x)=\sum_{z \leq x} \mu(z,x)g(z)\) 가 성립한다.
- 쌍대 공식\[g(x)=\sum_{z \geq x} f(z)\] 이면 \(f(x)=\sum_{z \geq x} \mu(z,x)g(z)\) 가 성립한다.
응용
포함과 배제의 원리
집합 A의 부분집합 \(A_i\)에 대하여 다음이 성립한다.
\(\biggl|\bigcup_{i=1}^n A_i\biggr| & {} =\sum_{i=1}^n\left|A_i\right|-\sum_{i,j\,:\,1 \le i < j \le n}\left|A_i\cap A_j\right| +\sum_{i,j,k\,:\,1 \le i < j < k \le n}\left|A_i\cap A_j\cap A_k\right|-\ \cdots\ + \left(-1\right)^{n-1} \left|A_1\cap\cdots\cap A_n\right|\)
\(\{1,2,\cdots,n\}\) 의 부분집합과 포함관계에 대한 poset 을 생각하자. 뫼비우스 함수는 \(\mu(S,T)=(-1)^{\left|T\setminus S\right|}\) 로 주어진다.
\(f(V)=|\underset{i\in V}{\cap }A_i|\)
\(g(V)=\left|\left\{a\in A \left| a\in A_i\forall i\in V\right.; a\notin A_j\forall j\notin V\right\}\right|\)
\(f(V)=\sum _{V\subseteq T} g(T)\) 이 성립한다.
뫼비우스 반전공식(쌍대)을 적용하면, 다음을 얻는다.
\(|A-\underset{i\in {1,2,\cdots,n}}{\cup }A_i|=g(\emptyset)=\sum _{\emptyset\subseteq T}\mu(\emptyset,T)f(T)=\sum _{T}(-1)^{|T|} f(T)\)
즉
\(|A-\underset{i\in {1,2,\cdots,n}}{\cup }A_i|=|A|-(\sum_{i=1}^n\left|A_i\right|-\sum_{i,j\,:\,1 \le i < j \le n}\left|A_i\cap A_j\right| +\sum_{i,j,k\,:\,1 \le i < j < k \le n}\left|A_i\cap A_j\cap A_k\right|-\ \cdots\ + \left(-1\right)^{n-1} \left|A_1\cap\cdots\cap A_n\right|)\)
역사
- M¨obius Inversion Theorem or MIT, Weisner (1935))
- http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
- 수학사 연표
메모
- A Mathematica Package for Studying Posets
- AN INTRODUCTION TO THE MOEBIUS FUNCTION http://quoll.uwaterloo.ca/mine/Notes/moebius.pdf
- http://www.plu.edu/~edgartj/posetMobius.pdf
- http://www.mth.msu.edu/~sagan/Slides/mfp2.pdf
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
관련된 항목들
수학용어번역
- 단어사전
- 발음사전 http://www.forvo.com/search/
- 대한수학회 수학 학술 용어집
- 한국통계학회 통계학 용어 온라인 대조표
- 남·북한수학용어비교
- 대한수학회 수학용어한글화 게시판
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Incidence_algebra
- The Online Encyclopaedia of Mathematics
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The World of Mathematical Equations
리뷰논문, 에세이, 강의노트
관련논문
- E. A. Bender and J. R. Goldman On the Applications of Mobius Inversion in Combinatorial Analysis www.jstor.org/stable/2319793
- http://www-math.mit.edu/~rstan/pubs/pubfiles/28.pdf
- http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
- http://www.ams.org/mathscinet
- http://dx.doi.org/
메타데이터
위키데이터
- ID : Q371133
Spacy 패턴 목록
- [{'LOWER': 'incidence'}, {'LEMMA': 'algebra'}]