"미디의 정리(Midy's theorem)"의 두 판 사이의 차이

2011년 12월 5일 (월) 11:04 판

이 항목의 수학노트 원문주소

미디의 정리(Midy's theorem)

개요

142857과 같은 수에서 쪼개어 더했을때 9가 많이 나타나는 현상에 대한 일반적인 이해
- 1+8=4+5=2+7=9
- 142 + 857=999
- 428 +
- 14+28+57=99

예: 142857

'142857의 신비' 해설
p=7
1/p = 0.142857142857...
142 + 857=999
14+28+57=99

순환마디의 길이가 2의 배수일때

소수 p에 대하여, 분수 a/p (\(1\leq a \leq p-1\)) 를 십진법 전개할 때 얻어지는 순환마디의 길이가 2n 이고, 순환마디가 \(a_1a_2\cdots a_{n} a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n}\) 라 하자.
\(1\leq i \leq n\) 에 대하여, \(a_{i} + a_{i+n}=9\) 이 성립한다.
또한 \(a_1a_2\cdots a_{n} + a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n} = 99\cdots 99\)(n개의 9) 가 성립한다.

(증명)

분수 a/p (\(1\leq a \leq p-1\)) 를 생각하자.

\(g_k \equiv a10^k \pmod p\), \(0\leq g_k \leq p-1\) 라 정의하자. \(g_0=a\) 이다.

순환마디의 길이가 2n이면, \(10^n \equiv -a \pmod p\) 가 성립하므로, \(g_n=p-a\) 임을 안다.

\(a_1a_2\cdots a_{n} + a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n}=\frac{g_0 10^n-g_n}{p} + \frac{g_{n} 10^n-g_0}{p}=\frac{(g_0+g_n)(10^n-1)}{p}=10^n-1\) ■

예 : 1176470588235294

p=17
2/17 = 0.11764705882352941176470588235294...
11764705 + 88235294 = 99999999

순환마디의 길이가 3의 배수일 때

소수 p에 대하여, 분수 1/p 를 십진법 전개할 때 얻어지는 순환마디의 길이가 3n 이고, 순환마디가 \(a_1a_2\cdots a_{n} a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n}a_{2n+1}a_{2n+2}\cdots a_{3n}\) 라 하자.
\(a_1a_2\cdots a_{n} + a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n} +a_{2n+1}a_{2n+2}\cdots a_{3n}= 99\cdots 99\) 가 성립한다

(증명)

순환마디의 길이가 3n인 분수 1/p 를 생각하자.

\(g_k \equiv 10^k \pmod p\), \(0\leq g_k \leq p-1\) 라 정의하자. \(g_0=1\) 이다.

\(g_{2n} \equiv g_n^2 \pmod p\), \(g_n^3 \equiv 1 \pmod p\) 이므로, \(g_0+g_n+g_{2n}\equiv 1+g_n+g_n^2=(g_n^3-1)/(g_n-1)\equiv 0 \pmod p\) 이다.

따라서 \(g_0+g_n+g_{2n}=p\) 또는 \(g_0+g_n+g_{2n}=2p\)가 성립한다.

그러나 \(0\leq g_k \leq p-1\) 이므로 \(1+g_n+g_{2n}=2p\)일 수 없다. 따라서 \(g_0+g_n+g_{2n}=p\)

\(a_1a_2\cdots a_{n} + a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n} +a_{2n+1}a_{2n+2}\cdots a_{3n}=\frac{g_0 10^n-g_n}{p} + \frac{g_{n} 10^n-g_{2n}}{p}+\frac{g_{2n} 10^n-g_{0}}{p}=\frac{(g_0+g_n+g_{2n})(10^n-1)}{p}=10^n-1\) ■

일반적으로 소수 p에 대하여, 분수 1/p 를 십진법 전개할 때 얻어지는 순환마디의 길이가 3n 이라고 하자.
분수 a/p (\(1\leq a \leq p-1\)) 또는 (p-a)/p (\(1\leq a \leq p-1\))
둘 중의 하나는 \(a_1a_2\cdots a_{n} + a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n} +a_{2n+1}a_{2n+2}\cdots a_{3n}= 99\cdots 99\)
다른 하나는, \(a_1a_2\cdots a_{n} + a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n} +a_{2n+1}a_{2n+2}\cdots a_{3n}=2* 99\cdots 99\) 를 만족한다

예 : 052631578947368421

p=19
- 1/19=0.052631578947368421052...
- 52631+578947+368421=999999
p=7
- 3/7 = 0.4285714286...
- 42+ 85+71=198
- 4/7 = 0.5714285714
- 57+14+28=99

역사

메모

수학용어번역

사전 형태의 자료

리뷰논문과 에세이

A Curious String of Nines
- Hans Liebeck,
- The Mathematical Gazette, Vol. 85, No. 504 (Nov., 2001), pp. 431-438

Midy's (Nearly) Secret Theorem: An Extension after 165 Years
- Brian D. Ginsberg, The College Mathematics Journal, Vol. 35, No. 1 (Jan., 2004), pp. 26-30

링크

Summaries of Media Coverage of Math
구글 블로그 검색
- http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=

@@ 12번째 줄: / 12번째 줄: @@
 ** 1+8=4+5=2+7=9
 ** 142 + 857=999
+** 428 +
 ** 14+28+57=99
@@ 23번째 줄: / 24번째 줄: @@
 * p=7
 * 1/p = 0.'''142857'''142857...
-* 1+8=4+5=2+7=9
 * 142 + 857=999
 * 14+28+57=99
@@ 81번째 줄: / 81번째 줄: @@
 <math>a_1a_2\cdots a_{n} + a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n} +a_{2n+1}a_{2n+2}\cdots a_{3n}=\frac{g_0 10^n-g_n}{p} + \frac{g_{n} 10^n-g_{2n}}{p}+\frac{g_{2n} 10^n-g_{0}}{p}=\frac{(g_0+g_n+g_{2n})(10^n-1)}{p}=10^n-1</math> ■
-*  일반적으로 소수 p에 대하여, 분수 1/p 를 십진법 전개할 때 얻어지는 순환마디의 길이가 3n 이라고 하자.<br> 분수 a/p  (<math>1\leq a \leq p-1</math>) 또는 (p-a)/p  (<math>1\leq a \leq p-1</math>)<br> 둘 중의 하나는 <math>a_1a_2\cdots a_{n} + a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n} +a_{2n+1}a_{2n+2}\cdots a_{3n}= 99\cdots 99</math> <br> 다른 하나는, <math>a_1a_2\cdots a_{n} + a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n} +a_{2n+1}a_{2n+2}\cdots a_{3n}=2* 99\cdots 99</math> 를 만족한다<br>
+*  일반적으로 소수 p에 대하여, 분수 1/p 를 십진법 전개할 때 얻어지는 순환마디의 길이가 3n 이라고 하자.<br> 분수 a/p  (<math>1\leq a \leq p-1</math>) 또는 (p-a)/p  (<math>1\leq a \leq p-1</math>)<br> 둘 중의 하나는 <math>a_1a_2\cdots a_{n} + a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n} +a_{2n+1}a_{2n+2}\cdots a_{3n}= 99\cdots 99</math><br> 다른 하나는, <math>a_1a_2\cdots a_{n} + a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n} +a_{2n+1}a_{2n+2}\cdots a_{3n}=2* 99\cdots 99</math> 를 만족한다<br>