"순환소수와 이차 수체의 유수"의 두 판 사이의 차이
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| − | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 수학노트 원문주소 | + | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 수학노트 원문주소== |
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| − | ==개요 | + | ==개요== |
* 1/7의 순환소수전개를 구하는 과정은 <math>\mathbb{Q}(\sqrt{-7})</math> 의 class number 를 계산하기에 충분한 정보를 담고 있다<br><math>\frac{1}{7}=0.\dot{1}4285\dot{7}</math> 의 경우 <br> | * 1/7의 순환소수전개를 구하는 과정은 <math>\mathbb{Q}(\sqrt{-7})</math> 의 class number 를 계산하기에 충분한 정보를 담고 있다<br><math>\frac{1}{7}=0.\dot{1}4285\dot{7}</math> 의 경우 <br> | ||
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| − | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">순환소수 전개를 통한 class number의 계산 | + | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">순환소수 전개를 통한 class number의 계산== |
* 7이상의 소수 <math>p \equiv 3 \pmod{4}</math> 에 대하여 숫자 "10"이 군 <math>(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times</math>의 [[원시근(primitive root)]]이라 하자<br> | * 7이상의 소수 <math>p \equiv 3 \pmod{4}</math> 에 대하여 숫자 "10"이 군 <math>(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times</math>의 [[원시근(primitive root)]]이라 하자<br> | ||
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| − | <h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">p=7인 경우의 예 | + | <h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">p=7인 경우의 예== |
* 7의 경우<br><math>\frac{1}{7}=0.\dot{1}4285\dot{7}</math><br><math>\frac{-1+4-2+8-5+7}{11}=1</math><br>[[정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)]] 에서 확인할 수 있듯이 <math>\mathbb{Q}(\sqrt{-7})</math>의 class number는 1이다.<br> | * 7의 경우<br><math>\frac{1}{7}=0.\dot{1}4285\dot{7}</math><br><math>\frac{-1+4-2+8-5+7}{11}=1</math><br>[[정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)]] 에서 확인할 수 있듯이 <math>\mathbb{Q}(\sqrt{-7})</math>의 class number는 1이다.<br> | ||
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| − | <h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">p=23의 경우 | + | <h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">p=23의 경우== |
* 23의 경우<br><math>\frac{1}{23}=0.\dot{0}43478260869565217391\dot{3}</math><br><math>\frac{-0+4-3+4-7+8-2+6-0+8-6+9-5+6-5+2-1+7-3+9-1+3}{11}=3</math><br>[[정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)]] 에서 확인할 수 있듯이 <math>\mathbb{Q}(\sqrt{-23})</math>의 class number는 3이다.<br> | * 23의 경우<br><math>\frac{1}{23}=0.\dot{0}43478260869565217391\dot{3}</math><br><math>\frac{-0+4-3+4-7+8-2+6-0+8-6+9-5+6-5+2-1+7-3+9-1+3}{11}=3</math><br>[[정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)]] 에서 확인할 수 있듯이 <math>\mathbb{Q}(\sqrt{-23})</math>의 class number는 3이다.<br> | ||
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* '''[Girstmair94]'''[http://www.jstor.org/stable/2975167 A "Popular" Class Number Formula] Kurt Girstmair, The American Mathematical Monthly, Vol. 101, No. 10 (Dec., 1994), pp. 997-1001 | * '''[Girstmair94]'''[http://www.jstor.org/stable/2975167 A "Popular" Class Number Formula] Kurt Girstmair, The American Mathematical Monthly, Vol. 101, No. 10 (Dec., 1994), pp. 997-1001 | ||
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2012년 11월 1일 (목) 13:52 판
이 항목의 수학노트 원문주소==
개요
- 1/7의 순환소수전개를 구하는 과정은 \(\mathbb{Q}(\sqrt{-7})\) 의 class number 를 계산하기에 충분한 정보를 담고 있다
\(\frac{1}{7}=0.\dot{1}4285\dot{7}\) 의 경우
\(g_0=1,g_1=3,g_2=2,g_3=6,g_4=4,g_5=5,g_6=1,\cdots\)
\(y_1=1,y_2=4,y_3=2,y_4=8,y_5=5,y_6=7,\cdots\)
\(10g_{k-1}=7 y_k+g_k\)
여기서
\(\frac{-1+4-2+8-5+7}{11}=1\) 가 \(\mathbb{Q}(\sqrt{-7})\)의 class number이다.
- \(p \equiv 3 \pmod{4}\)인 경우에 \(K=\mathbb{Q}(\sqrt{-p})\)의 class number 를 구하는 정리
순환소수 전개를 통한 class number의 계산==
- 7이상의 소수 \(p \equiv 3 \pmod{4}\) 에 대하여 숫자 "10"이 군 \((\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times\)의 원시근(primitive root)이라 하자
- 예 p=7, p=23
- 이 경우 \(1/p\)의 순환소수 전개를 통해 다음과 같이 \(K=\mathbb{Q}(\sqrt{-p})\)의 class number h를 계산할 수 있다
\(\frac{1}{p}=0.\dot{y_1}\cdots\dot{y_{p-1}}\)
\(h=\frac{\sum_{k=1}^{p-1}(-1)^{k}y_k}{11}\)
(증명)
- [Girstmair94] 참조
디리클레 L-함수 에 있는 다음 결과를 이용한다.
\(h=-\sum_{k=1}^{p-1}(\frac{k}{p})\frac{k}{p}\)
\({g_k}\)를 \(g_k \equiv 10^k \pmod p\) 를 만족시키는 \(\{1,\cdots,p-1\}\)의 원소로 정의하자.
10이 \((\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times\)를 생성하므로
\(h=-\sum_{k=1}^{p-1}(\frac{g_k}{p})\frac{g_k}{p}=\sum_{k=1}^{p-1}(-1)^{k+1}\frac{g_k}{p}\)
한편 \(\frac{1}{p}=0.\dot{y_1}\cdots\dot{y_{p-1}}\) 를 순환소수전개로 얻는다면,
\(10g_{k-1}=p y_k+g_k\) 즉,
\(y_k=\frac{10g_{k-1}-g_k}{p}\) (\(k=1,\cdots, p-1\)) 가 성립한다.
다시 증명으로 돌아가자
\(11h=10h+h=\sum_{k=1}^{p-1}(-1)^{k+1}\frac{10g_k}{p}-\sum_{k=1}^{p-1}(-1)^{k}\frac{g_k}{p}=\sum_{k=1}^{p-1}(-1)^{k}\frac{10g_{k-1}-g_k}{p}=\sum_{k=1}^{p-1}(-1)^{k}y_k\)
따라서
\(h=\frac{\sum_{k=1}^{p-1}(-1)^{k}y_k}{11}\) ■
p=7인 경우의 예==
- 7의 경우
\(\frac{1}{7}=0.\dot{1}4285\dot{7}\)
\(\frac{-1+4-2+8-5+7}{11}=1\)
정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms) 에서 확인할 수 있듯이 \(\mathbb{Q}(\sqrt{-7})\)의 class number는 1이다.
p=23의 경우==
- 23의 경우
\(\frac{1}{23}=0.\dot{0}43478260869565217391\dot{3}\)
\(\frac{-0+4-3+4-7+8-2+6-0+8-6+9-5+6-5+2-1+7-3+9-1+3}{11}=3\)
정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms) 에서 확인할 수 있듯이 \(\mathbb{Q}(\sqrt{-23})\)의 class number는 3이다.
cyclic numbers
- cyclic numbers
- 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, 179, 181, 193, 223, 229, 233, 257, 263, 269, 313,... 는 10을 원시근으로 갖는 소수
역사
메모
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
관련된 항목들
수학용어번역==
- 단어사전
- 발음사전 http://www.forvo.com/search/
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- 한국통계학회 통계학 용어 온라인 대조표
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사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/
- The Online Encyclopaedia of Mathematics
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The World of Mathematical Equations
리뷰논문, 에세이, 강의노트
관련논문
- [Girstmair94]A "Popular" Class Number Formula Kurt Girstmair, The American Mathematical Monthly, Vol. 101, No. 10 (Dec., 1994), pp. 997-1001
- http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
- http://www.ams.org/mathscinet
- http://dx.doi.org/
관련도서
\(\frac{1}{7}=0.\dot{1}4285\dot{7}\) 의 경우
- 7이상의 소수 \(p \equiv 3 \pmod{4}\) 에 대하여 숫자 "10"이 군 \((\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times\)의 원시근(primitive root)이라 하자
- 예 p=7, p=23
- 이 경우 \(1/p\)의 순환소수 전개를 통해 다음과 같이 \(K=\mathbb{Q}(\sqrt{-p})\)의 class number h를 계산할 수 있다
\(\frac{1}{p}=0.\dot{y_1}\cdots\dot{y_{p-1}}\)
\(h=\frac{\sum_{k=1}^{p-1}(-1)^{k}y_k}{11}\)
- [Girstmair94] 참조
p=7인 경우의 예==
- 7의 경우
\(\frac{1}{7}=0.\dot{1}4285\dot{7}\)
\(\frac{-1+4-2+8-5+7}{11}=1\)
정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms) 에서 확인할 수 있듯이 \(\mathbb{Q}(\sqrt{-7})\)의 class number는 1이다.
\(\frac{1}{7}=0.\dot{1}4285\dot{7}\)
\(\frac{-1+4-2+8-5+7}{11}=1\)
정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms) 에서 확인할 수 있듯이 \(\mathbb{Q}(\sqrt{-7})\)의 class number는 1이다.
p=23의 경우==
- 23의 경우
\(\frac{1}{23}=0.\dot{0}43478260869565217391\dot{3}\)
\(\frac{-0+4-3+4-7+8-2+6-0+8-6+9-5+6-5+2-1+7-3+9-1+3}{11}=3\)
정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms) 에서 확인할 수 있듯이 \(\mathbb{Q}(\sqrt{-23})\)의 class number는 3이다.
\(\frac{1}{23}=0.\dot{0}43478260869565217391\dot{3}\)
\(\frac{-0+4-3+4-7+8-2+6-0+8-6+9-5+6-5+2-1+7-3+9-1+3}{11}=3\)
정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms) 에서 확인할 수 있듯이 \(\mathbb{Q}(\sqrt{-23})\)의 class number는 3이다.
cyclic numbers
- cyclic numbers
- 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, 179, 181, 193, 223, 229, 233, 257, 263, 269, 313,... 는 10을 원시근으로 갖는 소수
역사
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- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
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