슈바르츠-크리스토펠 사상(Schwarz-Christoffel mappings)

간단한 소개

• 복소해석학의 리만 사상 정리 에 의하면, 아래 그림과 같은 단위원과 별모양(pentagram) 사이에는 전단사 복소해석함수가 존재.

• Schwarz-Christoffel mappings 은 이러한 사상을 다음과 같이 구체적으로 표현할 수 있게 해주는 공식.

\(f(z)=\int_0^z\frac{(1-z^5)^{\frac{2}{5}}}{(1+z^5)^{\frac{4}{5}}}dz\)

 

국소적인 이해

• 우선 \(z^{\lambda}\) 형태의 복소함수에 대해서 이해할 필요가 있음
• \(\lambda > 0\) 인 경우에 대해서 먼저 생각해보자
  \(z^{\lambda}=e^{\lambda \ln z}= e^{\lambda (\ln |z|+i\arg z)}} =\exp(\ln |z|^{\lambda}+\lambda i \arg z)\)
  
• 이 함수가 복소상반평면을 어떻게 변화시키는지 알아보기 위해 \(\arg z\)이 브랜치를 하나 고정하자
• \(z\) 가 실수라고 하자.
  
  • \(z>0\)  이면 \(\arg z =0\)
  • \(z<0\)  이면 \(\arg z =\pi\)
• 상반평면이 \(z^{\lambda}\) 에 의해 각도가 \(\lambda \pi\)인 두 직선으로 쌓인 영역으로 변화
• \(\lambda < 0\) 인 경우

 

 

등각사상으로서의 타원적분

• 타원적분
  \(f(z)=\int_0^z\frac{dz}{\sqrt{(z+1)z(z-1)}}\)
  
• 이러한 타원적분으로 주어진 함수가 등각사상으로서 어떤 성질을 알기 위해 국소적으로 보자면,
  \(z=-1\) 근방에서 \(f(z) \approx (z+1)^{\frac{1}{2}}\)
  \(z=0\) 근방에서 \(f(z) \approx 2z^{\frac{1}{2}}\)
  \(z=1\) 근방에서 \(f(z) \approx 2(z-1)^{\frac{1}{2}}\)