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| − | * 일반적으로 N이 클 때, 다음과 같은 근사식이 성립한다<br><math>\int e^{Nf(x)}\,dx\approx \sqrt{\frac{2\pi}{N|f''( | + | * 일반적으로 N이 클 때, 다음과 같은 근사식이 성립한다<br><math>\int e^{Nf(x)}\,dx\approx \sqrt{\frac{2\pi}{N|f''(x_ 0)|}}}e^{Nf(x_ 0)}\textrm{ as }N\to\infty</math><br> 최대값 부근에서의 테일러 전개 <math>f (x)\approx f(x_ 0)-\frac{1}{2}|f''(x_ 0)|(x-x_ 0)^2</math>를 이용<br> |
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2012년 9월 24일 (월) 04:42 판
개요
- 복소함수 적분의 근사에 사용되는 테크닉의 하나
- 안장점
복소함수 \(f(z)\)에 대하여 \(f'\left(z_ 0\r ight)=0\)인 \(z=z_ 0\)를 안장점이라 한다.
\(f(z)=f\left(z_ 0\r ight)+\frac{1}{2}f\text{''}\left(z_ 0\r ight)\left(z-z_ 0\r ight){}^2+\cdots\) 이므로 가우시안 적분으로 근사된다. - 일반적으로 N이 클 때, 다음과 같은 근사식이 성립한다
\(\int e^{Nf(x)}\,dx\approx \sqrt{\frac{2\pi}{N|f''(x_ 0)|}}}e^{Nf(x_ 0)}\textrm{ as }N\to\infty\)
최대값 부근에서의 테일러 전개 \(f (x)\approx f(x_ 0)-\frac{1}{2}|f''(x_ 0)|(x-x_ 0)^2\)를 이용
예1
- 스털링 공식 에서 가져옴
\(N! = \Gamma(N+1)=\int_0^{\infty} e^{-x} x^N dx\) 에서 \(x=Nz\) 로 치환하면,
\(N!= \int_0^{\infty} e^{-N z} \left(N z \r ight)^N N dz=N^{N+1}\int_0^{\infty}e^{N(\ln z-z)} dz\)
\(f \left( z \r ight) = \ln{z}-z\)
\(f'(z) = \frac{1}{z}-1\)
\(f''(z) = -\frac{1}{z^2}\)
\(z_ 0=1\) 일 때, 최대값을 가지며, \(f (z)\approx -1-\frac{1}{2} (z-1)^2+O[z-1]^3\) 가 된다.
따라서
\(N! \approx N^{N+1}\int_0^{\infty}e^{-N}e^{-\frac{N (z-1)^2}{2}} dz \approx N^{N+1}\sqrt{\frac{2\pi}{N}} e^{-N}=\sqrt{2\pi N} N^N e^{-N}\)
예2
역사
메모
- http://bolvan.ph.utexas.edu/~vadim/Classes/2011f/saddle.pdf
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
관련된 항목들
수학용어번역
- 단어사전
- 발음사전 http://www.forvo.com/search/
- 대한수학회 수학 학술 용어집
- 한국통계학회 통계학 용어 온라인 대조표
- 남·북한수학용어비교
- 대한수학회 수학용어한글화 게시판
매스매티카 파일 및 계산 리소스
- https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxckFucGVEQlYxXzg/edit?pli=1
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- http://functions.wolfram.com/
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- Abramowitz and Stegun Handbook of mathematical functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
- Numbers, constants and computation
- 매스매티카 파일 목록
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/
- The Online Encyclopaedia of Mathematics
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The World of Mathematical Equations
리뷰논문, 에세이, 강의노트
관련논문