"양자 조화진동자"의 두 판 사이의 차이

2012년 2월 13일 (월) 07:04 판

질량 m, frequency \(\omega\) 인 조화진동자
해밀토니안
\(H(p,q)=\frac{p^2}{2m}+\frac{m}{2}\omega^{2}q^2\)
해밀턴 방정식
\(\dot{q}=\partial H/\partial p=\frac{p}{m}\)
\(\dot{p}=-\partial H/\partial q=-m\omega^{2}q\)
운동방정식
\(\ddot{x}=-\omega^{2} x\) 즉 \(\ddot{x}+\omega^{2} x=0\)

the position operators and momentum operators satisfy the relation
\([X,P] = X P - P X = i \hbar\)

해밀토니안
\(\hat H(\hat p,\hat x) = \frac{{\hat p}^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega^2 {\hat x}^2\)
사다리 연산자(ladder operator)
\(a =\sqrt{m\omega \over 2\hbar} \left(x + {i \over m \omega} p \right)\)
\(a^{\dagger} =\sqrt{m \omega \over 2\hbar} \left( x - {i \over m \omega} p \right)\)
Hamiltonian
\(H = \hbar \omega \left(a^{\dagger}a + 1/2\right)\)
Commutation relation
\(\left[a , a^{\dagger} \right] = 1\)
\(\left[ H, a \right]= - \hbar \omega a\)
\(\left[ H, a^\dagger \right] = \hbar \omega a^\dagger\)

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-<h5>quantum harmonic oscillator</h5>
+<h5>양자조화진동자</h5>
-*  해밀토니안<br><math>H(P,X)=\frac{P^2}{2m}+\frac{m}{2}\omega^{2}X^2</math><br>
+*  the position operators and momentum operators satisfy the relation<br><math>[X,P] = X P - P X = i \hbar</math><br>
+*  해밀토니안<br><math>\hat H(\hat p,\hat x) = \frac{{\hat p}^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega^2 {\hat x}^2</math><br>
+*  사다리 연산자(ladder operator)<br><math>a =\sqrt{m\omega \over 2\hbar} \left(x + {i \over m \omega} p \right)</math><br><math>a^{\dagger} =\sqrt{m \omega \over 2\hbar} \left( x - {i \over m \omega} p \right)</math><br>
+*  Hamiltonian<br><math>H = \hbar \omega \left(a^{\dagger}a + 1/2\right)</math><br>
+*  Commutation relation<br><math>\left[a , a^{\dagger} \right] = 1</math><br><math>\left[ H, a \right]= - \hbar \omega a</math><br><math>\left[ H, a^\dagger \right] =   \hbar \omega a^\dagger</math><br>