오일러 치환

• 삼각치환

 

드무아브르의 중심극한정리(iv) : 가우시안의 눈부신 등장 에서도 다음과 같은 말을 써놓았었는데, 이것은 미적분학을 배우는 1학년들에게도 적용되는 말이다.

 

잠시 여담이 지만, 이렇게 중고딩 교과서에 ‘~임이 알려져 있다’라고 하는 부분은 사실 교사에게도 학생에게도 크게 중요한 것은 아닐 것이다. 그러나 나의 경험으로 볼 때, 이 순간이야말로 선생님들이 어린 아이들의 가슴 속에 세상에 매우 긍정적인 야망을 심어줄 수 있는 좋은 찬스인 것이다. 바로 이런 곳에 더 높은 수준의 학문을 향한, 학생들이 밟을 수 있는 디딤돌이 놓여져 있는 사회가 건강하고 튼튼한 것이라는 믿음하에 이 글은 작성되고 있다.

 

바로 이런 지점들이 꼬맹이들을 눈부신 수학의 세계로 꼬셔올 수 있는 순간인데, 그냥 기교적으로만 보이는 적분의 기술을 가르치는 시간에도 이러한 기회들은 분명히 존재한다. 좋은 선생은 이런 순간들을 절대로 놓쳐서는 안된다. 단순한 기교 너머에 심오하고 휘황찬란한 세계가 존재하고 있음을 알려줘야 하는 것이다.

 

수학문명을 건설하기 위해서는 많은 사람이 필요하고, 이를 위해서는 수많은 수학 교사와 수학 교수들이 합심하여 사람을 잘 키우고 수학을 제대로 잘 가르치는 일에 많은 신경을 써야하는데, 장차 이를 어찌 해나갈 것인가 생각하면 ... 이 역시 정치개혁만큼이나 깜깜한 듯 하다.

 

지금은 연습문제 풀어주기 바쁜 조교이기 때문에, 이러한 것들을 언급할 때는 아니지만, 그래도

 

삼각치환은 왜 작동하는가?

 

삼각치환

 

 

\(y^2=ax^2+bx+c\)를 \(t\)에 대한 유리함수로 매개화하는 것이 가장 중요한 아이디어이다. 

\(y-y_0 = t(x-x_0)\) passing through a point  \((x_0,y_0)\)

 

 

오일러치환

형태의 적분을 유리함수의 적분으로 바꾸는 변수 \(x=x(t)\) 치환

 

 

 

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제1오일러치환

 

 

제2오일러치환

 

 

 

The third Euler substitution: If , then

 

 

제3오일러치환

 

The second Euler substitution: If the roots  and  of the quadratic polynomial  are real, then

 

 

 

In the case when , that is, when (2) is a hyperbola, the first Euler substitution is obtained by taking \((x_0,y_0)\) as one of the points at infinity defined by the directions of the asymptotes of this hyperbola;

when the roots   and  of the quadratic polynomial \(ax^2+bx+c\) are real, the second Euler substitution is obtained by taking as \((x_0,y_0)\) one of the points  or ;

finally, when , the third Euler substitution is obtained by taking as \((x_0,y_0)\) one of the points where the curve (2) intersects the ordinate axis, that is, one of the points .

 

http://www.integral-table.com/

 

http://books.google.com/books?id=E2IhMXPZMNIC&pg=PR8&lpg=PR8&dq=functions+with+elementary+integral+Analysis+by+Its+History&source=bl&ots=7GRnB0mT8k&sig=jpLHMzhVvPUFDTvIhCYojZWTYNo&hl=ko&ei=VU2HSuu2FpTOsQPMwInbAg&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=3#v=onepage&q=&f=false

 

 

\(\int \sqrt{x^2+1}\,dx\)

 

http://www.goiit.com/posts/list/integration-euler-s-substitution-354.htm

http://pauli.uni-muenster.de/~munsteg/arnold.html

 

 

 multiply out. Since we can factor the polynomial and one root is 2, we can also use the 3. Euler substitution:  

 

  Euler substitutions Substitutions of the variable  in an integral

where  is a rational function of its arguments, that reduce (1) to the integral of a rational function. There are three types of such substitutions.

(Any combination of signs may be chosen on the right-hand side in each case.) All the Euler substitutions allow both the original variable of integration  and  to be expressed rationally in terms of the new variable .

The first two Euler substitutions permit the reduction of (1) to the integral of a rational function over any interval on which  takes only real values.