"오일러 치환"의 두 판 사이의 차이

수학노트
둘러보기로 가기 검색하러 가기
(피타고라스님이 이 페이지의 위치를 <a href="/pages/4407173">미적분학</a>페이지로 이동하였습니다.)
1번째 줄: 1번째 줄:
 
<h5>이 항목의 스프링노트 원문주소</h5>
 
<h5>이 항목의 스프링노트 원문주소</h5>
  
−
 
+
* [[오일러 치환|오일러치환]]
−
 
 
−
 
 
−
 
 
−
 
 
−
 
 
−
 
 
  
 
 
 
 
15번째 줄: 9번째 줄:
 
<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">개요</h5>
 
<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">개요</h5>
  
−
 
+
* <math>R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})</math>의 부정적분을 유리함수의 적분으로 바꾸는 변수 <math>x=x(t)</math> 치환<br>
−
 
 
−
* <math>R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})</math>의 적분<br><math>ax^2+bx+c=\frac{1}{a}\{(ax+b)^2+{ac-b^2}}\}</math> 으로 쓴 다음<br>
 
−
* <math>ac-b^2</math>와 <math>a</math>의 부호에 따라, 적당히 치환<br>
 
−
 
 
−
 
 
  
−
* <math>R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})</math> 형태의 적분을 유리함수의 적분으로 바꾸는 변수 <math>x=x(t)</math> 치환<br>
+
* <math>y^2=ax^2+bx+c</math>를 <math>t</math>에 대한 유리함수로 매개화할 수 있기 때문에 가능하다<br>
−
 
+
* [[삼각치환]] 항목도 더불어 참조<br>
−
* <math>y^2=ax^2+bx+c</math>를 <math>t</math>에 대한 유리함수로 매개화하는 것이 가장 중요한 아이디어이다. <br>
 
−
* <math>y-y_0 = t(x-x_0)</math> passing through a point  <math>(x_0,y_0)</math><br>
 
−
 
 
−
 
 
  
 
 
 
 
36번째 줄: 21번째 줄:
  
 
* <math>a>0</math> 일때, <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=t-\sqrt{a}x</math> 로 치환
 
* <math>a>0</math> 일때, <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=t-\sqrt{a}x</math> 로 치환
−
* <math>\int\sqrt{x^2-4}\,dx</math>의 예<br><math>\sqrt{x^2-4}=t-x</math><br><math>x=\frac{4+t^2}{2t}</math><br><math>\int \frac{2t^4-16t^2+32}{8t^3}\,dt</math><br>
+
* 예<br><math>\int\sqrt{x^2-4}\,dx</math><br><math>\sqrt{x^2-4}=t-x</math><br><math>x=\frac{4+t^2}{2t}</math><br><math>\int \frac{2t^4-16t^2+32}{8t^3}\,dt</math><br>
  
 
 
 
 
47번째 줄: 32번째 줄:
  
 
* <math>c>0</math> 일때, <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=xt+\sqrt{c}</math> 로 치환
 
* <math>c>0</math> 일때, <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=xt+\sqrt{c}</math> 로 치환
−
* <math>\int \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}\,dx</math>의 예<br><math>\sqrt{1-x^2}=xt+1</math><br><math>x=\frac{2t}{t^2+1}</math><br><math>\int \frac{1+2 t^2-3 t^4}{t \left(1+t^2\right)^2}\,dt</math><br>
+
* 예<br><math>\int \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}\,dx</math><br><math>\sqrt{1-x^2}=xt+1</math><br><math>x=\frac{2t}{t^2+1}</math><br><math>\int \frac{1+2 t^2-3 t^4}{t \left(1+t^2\right)^2}\,dt</math><br>
  
 
 
 
 

2010년 2월 10일 (수) 18:24 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요
  • \(R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\)의 부정적분을 유리함수의 적분으로 바꾸는 변수 \(x=x(t)\) 치환
  • \(y^2=ax^2+bx+c\)를 \(t\)에 대한 유리함수로 매개화할 수 있기 때문에 가능하다
  • 삼각치환 항목도 더불어 참조

 

 

제1오일러치환
  • \(a>0\) 일때, \(\sqrt{ax^2+bx+c}=t-\sqrt{a}x\) 로 치환
  • 예
    \(\int\sqrt{x^2-4}\,dx\)
    \(\sqrt{x^2-4}=t-x\)
    \(x=\frac{4+t^2}{2t}\)
    \(\int \frac{2t^4-16t^2+32}{8t^3}\,dt\)

 


 

제2오일러치환
  • \(c>0\) 일때, \(\sqrt{ax^2+bx+c}=xt+\sqrt{c}\) 로 치환
  • 예
    \(\int \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}\,dx\)
    \(\sqrt{1-x^2}=xt+1\)
    \(x=\frac{2t}{t^2+1}\)
    \(\int \frac{1+2 t^2-3 t^4}{t \left(1+t^2\right)^2}\,dt\)

 

 

제3오일러치환
  • \(ax^2+bx+c=0\)가 두 실근u,v를 가질때, \(\sqrt{ax^2+bx+c}=t(x-u)\)로 치환
  • \(\int\sqrt{x^2-4}\,dx\)의 예
    \(\sqrt{x^2-4}=t(x-2)\)
    \(x=\frac{2t^2+2}{t^2-1}\)
    \(\int \frac{2t^4-16t^2+32}{8t^3}\,dt\)

 

 

재미있는 사실

 

 

 

역사

 

 

 

메모

 

 

관련된 항목들

 

 

수학용어번역

 

 

사전 형태의 자료

 

 

관련논문

 

 

관련도서

 

 

관련기사

 

 

블로그
원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=오일러_치환&oldid=15418"