"오일러-가우스 초기하함수2F1"의 두 판 사이의 차이

2009년 12월 7일 (월) 08:53 판

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오일러-가우스 초기하함수

개요

초기하급수로서의 정의
\(\,_2F_1(a,b;c;z)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a)_n(b)_n}{(c)_nn!}z^n, |z|<1\)

적분표현
\(\,_2F_1(a,b;c;z)=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(c-a)\Gamma(a)}\int_0^1t^{a-1}(1-t)^{c-a-1}(1-zt)^{-b}\,dt\)
초기하급수의 해석적확장을 통해 얻어진 함수를 초기하함수라 함

초기하급수로 표현되는 함수의 예

타원적분
\(K(k) =\frac{\pi}{2}\,_2F_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;k^2)\)
\(E(k) =\frac{\pi}{2}\,_2F_1(\frac{1}{2},-\frac{1}{2};1;k^2)\)

오일러의 항등식

\(_2F_1 (a,b;c;z) = (1-z)^{c-a-b}{}_2F_1 (c-a, c-b;c ; z)\)

\(_2F_1 (a,b;c;z) = (1-z)^{-a} {}_2F_1 (a, c-b;c ; \frac{z}{z-1})\)

contiguous 관계

두 초기하급수가 있을 때, 세 파라미터가 정수만큼 다른 경우 contiguous라 함
예
\(_2F_1(a,b;c;z)\)와 \(_2F_1(a\pm1,b;c;z)\)
\(_2F_1(a,b;c;z)\)와 \(_2F_1(a1,b;c\pm1;z)\)

피카드-Fuchs 미분방정식

\(\,_2F_1(a,b;c;z)\) 는 다음 미분방정식의 해가 된다
\(z(1-z)\frac{d^2w}{dz^2}+(c-(a+b+1)z)\frac{dw}{dz}-abw = 0\)
초기하 미분방정식(Hypergeometric differential equations) 참조

타원적분과 초기하급수

제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)
[[제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)|]]\(K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}} = \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\frac{1}{2})_n}{n!} k^{2n}\sin^{2n}\theta{d\theta} \)

(증명)

\(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2n}\theta{d\theta}=\frac{\pi}{2}\frac{(\frac{1}{2})_n}{(1)_n}\) (감마함수) 이므로

\(K(k) = \frac{\pi}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\frac{1}{2})_n(\frac{1}{2})_n}{n!(1)_n}k^{2n} = \frac{\pi}{2}\,_2F_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;k^2)\)

special values

\(\,_2F_1(a,b;c;1)=\dfrac{\Gamma(c)\,\Gamma(c-a-b)}{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)}\)

\(\frac{\pi}{2}\,_2F_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;\frac{1}{2})=K(\frac{1}{\sqrt{2}})=\frac{1}{4}B(1/4,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{4})^2}{4\sqrt{\pi}}=1.8540746773\cdots\)

재미있는 사실

네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=

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expository articles

On the Kummer Solutions of the Hypergeometric Equation
- Reese T. Prosser, The American Mathematical Monthly, Vol. 101, No. 6 (Jun. - Jul., 1994), pp. 535-543

Ramanujan and hypergeometric and basic hypergeometric series
- R Askey 1990 Russ. Math. Surv. 45 37-86

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 <h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">contiguous 관계</h5>
-*  두 초기하급수가 있을 때, 세 파라미터 중 두 개가 같고, 하나가 1만큼 다른 경우 contiguous라 함<br><math>_2F_1(a,b;c;z)</math>와 <math>_2F_1(a\pm1,b;c;z)</math><br><math>_2F_1(a,b;c;z)</math>와 <math>_2F_1(a1,b;c\pm1;z)</math><br>  <br>
+*  두 초기하급수가 있을 때, 세 파라미터가 정수만큼 다른 경우 contiguous라 함<br>
+*  예<br><math>_2F_1(a,b;c;z)</math>와 <math>_2F_1(a\pm1,b;c;z)</math><br><math>_2F_1(a,b;c;z)</math>와 <math>_2F_1(a1,b;c\pm1;z)</math><br>  <br>  <br>