"원환면 (torus)"의 두 판 사이의 차이

수학노트

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2012년 11월 2일 (금) 14:56 판

개요

genus 가 1인 컴팩트 유향곡면
복소함수론에서는 타원함수 를 위상적으로 원환면인 리만곡면에서 정의된 함수로 이해한다

매개화

매개화
\(X(u,v)=\{\cos (u) (a+b \cos (v)),\sin (u) (a+b \cos (v)),b \sin (v)\}\)
\(0<u<2\pi\), \(0<v<2\pi\)
\(X_u=\{\sin (u) (-(a+b \cos (v))),\cos (u) (a+b \cos (v)),0\}\)
\(X_v=\{-b \cos (u) \sin (v),-b \sin (u) \sin (v),b \cos (v)\}\)
\(N=\{b \cos (u) \cos (v) (a+b \cos (v)),b \sin (u) \cos (v) (a+b \cos (v)),b \sin (v) (a+b \cos (v))\}\)
왼쪽 그림의 붉은 색 작은 원을 y-축에 대하여 회전하여, 오른쪽 원환면을 얻는다
->

제1기본형식

\(E=(a+b \cos (v))^2\)
\(F=0\)
\(G=b^2\)

크리스토펠 기호

크리스토펠 기호 항목 참조
\(\Gamma^1_{11}=0\)
\(\Gamma^1_{12}=-\frac{b \sin (v)}{a+b \cos (v)}\)
\(\Gamma^1_{21}=-\frac{b \sin (v)}{a+b \cos (v)}\)
\(\Gamma^1_{22}=0\)
\(\Gamma^2_{11}=\frac{\sin (v) (a+b \cos (v))}{b}\)
\(\Gamma^2_{12}=0\)
\(\Gamma^2_{21}=0\)
\(\Gamma^2_{22}=0\)

측지선

측지선 이 만족시키는 미분방정식
\(\frac{d^2\alpha_k }{dt^2} + \Gamma^{k}_{~i j }\frac{d\alpha_i }{dt}\frac{d\alpha_j }{dt} = 0\)
풀어쓰면,
\(\frac{d^2 u}{dt^2} -\frac{2b \sin (v)}{a+b \cos (v)}\frac{du }{dt}\frac{dv }{dt} = 0\)
\(\frac{d^2 v}{dt^2} + \frac{\sin (v) (a+b \cos (v))}{b}\frac{du }{dt}\frac{du }{dt} = 0\)

가우스곡률

가우스곡률 항목 참조
\(K = -\frac{1}{2\sqrt{EG}}\left(\frac{\partial}{\partial u}\frac{G_u}{\sqrt{EG}} + \frac{\partial}{\partial v}\frac{E_v}{\sqrt{EG}}\right)=\frac{\cos (v)}{a b+b^2 \cos (v)}\)

역사

메모

Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=

관련된 항목들

타원함수

매스매티카 파일 및 계산 리소스

리뷰논문, 에세이, 강의노트

관련논문

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미분기하학