"이중적분과 바젤문제"의 두 판 사이의 차이

수학노트
둘러보기로 가기 검색하러 가기
17번째 줄: 17번째 줄:
 
<math>I = \int _0^1\int _0^1\frac{1}{1-x^2 y^2}dxdy = \frac{1}{1^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}+\frac{1}{9^2}+\cdots</math> 임을 먼저 보이자.
 
<math>I = \int _0^1\int _0^1\frac{1}{1-x^2 y^2}dxdy = \frac{1}{1^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}+\frac{1}{9^2}+\cdots</math> 임을 먼저 보이자.
  
−
<math>\int_{0}^{1} \frac{1}{1-y^2 x^2} \, dx = \frac{\tanh ^{-1}(y)}{y}=1+\frac{y^2}{3}+\frac{y^4}{5}+\frac{y^6}{7}+\frac{y^8}{9}+\frac{y^{10}}{11}+\cdots</math>
+
<math>\int_{0}^{1} \frac{1}{1-y^2 x^2} \, dx = \frac{\tanh ^{-1}(y)}{y}=1+\frac{y^2}{3}+\frac{y^4}{5}+\frac{y^6}{7}+\frac{y^8}{9}+\frac{y^{10}}{11}+\cdots</math> 이므로
 +
 
 +
<math>I = \int _0^1\int _0^1\frac{1}{1-x^2 y^2}dxdy = \frac{1}{1^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}+\frac{1}{9^2}+\cdots</math> 가 성립한다.
  
 
 
 
 
23번째 줄: 25번째 줄:
 
 
 
 
  
−
 
+
<h5>단계 2</h5>
  
 
<math>I = \int _0^1\int _0^1\frac{1}{1-x^2 y^2}dxdy</math> 에서 <math>x=\sin (u) \sec (v)</math>, <math>y=\sec (u) \sin (v)</math> 로 치환을 하자.
 
<math>I = \int _0^1\int _0^1\frac{1}{1-x^2 y^2}dxdy</math> 에서 <math>x=\sin (u) \sec (v)</math>, <math>y=\sec (u) \sin (v)</math> 로 치환을 하자.
32번째 줄: 34번째 줄:
  
 
<math>I=\int_{0}^{\pi/2} \int_{0}^{\pi/2-v} \frac{1}{1-\tan ^2(u) \tan ^2(v)}\left(1-\tan ^2(u) \tan ^2(v)\right) dudv =\frac{\pi ^2}{8}</math>
 
<math>I=\int_{0}^{\pi/2} \int_{0}^{\pi/2-v} \frac{1}{1-\tan ^2(u) \tan ^2(v)}\left(1-\tan ^2(u) \tan ^2(v)\right) dudv =\frac{\pi ^2}{8}</math>
 +
 +
 
 +
 +
 
 +
 +
<h5>단계 3</h5>
 +
 +
<math>I = \frac{1}{1^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}+\frac{1}{9^2}+\cdots = \frac{3}{4}\zeta(2)</math> 임을 보이자.
 +
 +
(증명)
 +
 +
<math>\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{8^2}+\frac{1}{10^2}+\cdots = \frac{1}{4}\zeta(2)</math>
 +
 +
따라서
 +
 +
<math>\zeta(2) = I + \frac{1}{4}\zeta(2)</math> ■
 +
 +
 
  
 
 
 
 
61번째 줄: 81번째 줄:
  
 
 
 
 
 +
 +
 
 +
 +
<h5>매스매티카 파일 및 계산 리소스</h5>
 +
 +
*  
 +
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
 +
* http://functions.wolfram.com/
 +
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
 +
* [http://people.math.sfu.ca/%7Ecbm/aands/toc.htm Abramowitz and Stegun Handbook of mathematical functions]
 +
* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]
 +
* [http://numbers.computation.free.fr/Constants/constants.html Numbers, constants and computation]
 +
* [https://docs.google.com/open?id=0B8XXo8Tve1cxMWI0NzNjYWUtNmIwZi00YzhkLTkzNzQtMDMwYmVmYmIxNmIw 매스매티카 파일 목록]
  
 
 
 
 

2011년 12월 9일 (금) 16:09 판

이 항목의 수학노트 원문주소

 

 

개요

 

 

 

단계 1

\(I = \int _0^1\int _0^1\frac{1}{1-x^2 y^2}dxdy = \frac{1}{1^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}+\frac{1}{9^2}+\cdots\) 임을 먼저 보이자.

\(\int_{0}^{1} \frac{1}{1-y^2 x^2} \, dx = \frac{\tanh ^{-1}(y)}{y}=1+\frac{y^2}{3}+\frac{y^4}{5}+\frac{y^6}{7}+\frac{y^8}{9}+\frac{y^{10}}{11}+\cdots\) 이므로

\(I = \int _0^1\int _0^1\frac{1}{1-x^2 y^2}dxdy = \frac{1}{1^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}+\frac{1}{9^2}+\cdots\) 가 성립한다.

 

 

단계 2

\(I = \int _0^1\int _0^1\frac{1}{1-x^2 y^2}dxdy\) 에서 \(x=\sin (u) \sec (v)\), \(y=\sec (u) \sin (v)\) 로 치환을 하자.

자코비안은 다음과 같다.

\(\left|\left( \begin{array}{cc} \cos (u) \sec (v) & \sin (u) \tan (v) \sec (v) \\ \tan (u) \sec (u) \sin (v) & \sec (u) \cos (v) \end{array} \right)\right|=1-\tan ^2(u) \tan ^2(v)\)

\(I=\int_{0}^{\pi/2} \int_{0}^{\pi/2-v} \frac{1}{1-\tan ^2(u) \tan ^2(v)}\left(1-\tan ^2(u) \tan ^2(v)\right) dudv =\frac{\pi ^2}{8}\)

 

 

단계 3

\(I = \frac{1}{1^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}+\frac{1}{9^2}+\cdots = \frac{3}{4}\zeta(2)\) 임을 보이자.

(증명)

\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{8^2}+\frac{1}{10^2}+\cdots = \frac{1}{4}\zeta(2)\)

따라서

\(\zeta(2) = I + \frac{1}{4}\zeta(2)\) ■

 

 

 

역사

 

 

 

메모

 

 

 

관련된 항목들

 

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스

 

수학용어번역

 

 

 

사전 형태의 자료

 

 

리뷰논문, 에세이, 강의노트

 

 

 

관련논문

 

 

관련도서
원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=이중적분과_바젤문제&oldid=16720"