"합동수 문제 (congruent number problem)"의 두 판 사이의 차이

2009년 10월 13일 (화) 21:27 판

\(a^2 + b^2 &=& c^2\\ \frac{ab}{2} &=& n\)

다음 방정식이 만족됨을 알 수 있다.

\((\frac{a^2-b^2}{4})^2=(\frac{c}{2})^4-n^2\)

\(u=\frac{c}{2}\), \(v=\frac{a^2-b^2}{4}\) 로 두자.

디오판투스 방정식 \(u^4-n^2=v^2\) 가 유리해를 가짐을 알 수 있다.

\(u^4-n^2=v^2\)에서 \(u^6-n^2u^2=u^2v^2\) 를 얻은 뒤, \(x=u^2\), \(y=uv\) 로 두면, 다음 타원곡선의 방정식을 얻는다.

\(y^2=x^3-n^2x\)

따라서 세 변의 길이가 \(a,b,c\)이고 그 넓이가 \(n\)인 직각삼각형이 있으면, 타원곡선 \(y^2=x^3-n^2x\)의 유리해를 얻는다.
그러면 역으로 타원곡선 \(y^2=x^3-n^2x\)의 유리해가 있을때, 이러한 조건을 만족시키는 직각삼각형을 찾을 수 있을까?
- 일반적으로는 그렇지 않음.
- 그러나 \(x\) 가 어떤 유리수의 제곱으로 주어지고, 그 분모가 짝수라면, 조건을 만족시키는 직각삼각형을 찾을 수 있다.

(정리)

자연수 \(n\) 은 congruent number 이다 \(\iff\) 타원곡선 \(y^2=x^3-n^2x\) 이 \(y\neq0\)인 유리해를 갖는다.

타원곡선 \(y^2=x^3-x\)의 유리수해는 다음과 같다
\(E(\mathbb Q)=\{(\infty,\infty), (0,0),(1,0),(-1,0)\} \)
따라서 n=1은 congruent number 가 아니다

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 (정리)
-자연수
+자연수 <math>n</math> 은 congruent number 이다 <math>\iff</math> 타원곡선 <math>y^2=x^3-n^2x</math> 이 <math>y\neq0</math>인 유리해를 갖는다.
-a positive rational number n is congruent if and only if the equation y2 = x3 - n2x has a rational point with y not equal to 0
+<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">n=1 의 경우</h5>
+*  타원곡선 <math>y^2=x^3-x</math>의 유리수해는 다음과 같다<br><math>E(\mathbb Q)=\{(\infty,\infty), (0,0),(1,0),(-1,0)\} </math><br>
+* 따라서 n=1은 congruent number 가 아니다
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 <h5>관련논문</h5>
+* A classical diophantine problem and modular forms. Invent. Math.72, 323–334 (1983)
 * [http://www.jstor.org/stable/2320381 The Congruent Number Problem]<br>
 ** Ronald Alter, The American Mathematical Monthly, Vol. 87, No. 1 (Jan., 1980), pp. 43-45