정다각형의 작도

간단한 소개

• 정n각형이 자와 컴파스로 작도가능 \(\iff\)\(n=2^k p_1 p_2 \cdots p_r\)  (k ,r은 0이상의 정수, \(p_1, p_2, \cdots, p_r\) 은 서로 다른 페르마소수)
  
  • 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40, 48, 51, 60, 64, 68, 80, 85, 96, 102, 120, 128, 136, 160, 170, 192, 204, 240, 255, 256, 257, ...
  • 페르마소수란 \(2^{2^m}+1\) 형태의 소수
    
    • 3,5,17,257, 65537 다섯 가지만 알려져 있음.
• 정7각형은 작도가 불가능함.
• \(\cos {\frac{2\pi}{n}}\) 또는 \(\sin {\frac{2\pi}{n}}\) 의 값을, 유리수에서 시작하여, 사칙연산과 제곱근을 통해 표현할 수 있는가의 문제
  
  • \(\cos {\frac{2\pi}{3}} = -\frac{1}{2}\)
  • \(\cos {\frac{2\pi}{5}} = \frac{-1+\sqrt{5}}{4}\)
  • \(16\cos{2\pi\over17} = -1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+ 2\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}} \)
    
    • http://mathworld.wolfram.com/TrigonometryAnglesPi17.html
       
      

 

 

 

 

 

 

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참고할만한 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/Constructible_polygon
• http://front.math.ucdavis.edu/search?a=&t=&c=&n=40&s=Listings&q=
• http://www.ams.org/mathscinet/search/publications.html?pg4=AUCN&s4=&co4=AND&pg5=TI&s5=&co5=AND&pg6=PC&s6=&co6=AND&pg7=ALLF&co7=AND&Submit=Search&dr=all&yrop=eq&arg3=&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&pg8=ET&s8=All&s7=
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