"정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)"의 두 판 사이의 차이

2009년 8월 10일 (월) 20:03 판

판별식
\(\Delta=b^2-4ac\)
이차형식의 동치류
- 다음 두 변환에 의한 이차형식은 모두 같은 동치류에 있다고 정의
  \(x \to x+y\) , \(y \to y\)
  \(x \to x\), \(y \to x+y\)
  행렬로 표현하면 각각 다음과 같으며 모듈라 군(modular group)을 생성함
  \(\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \), \(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \)
- 즉 \(f(x,y)=g(ax+by,cx+dy)\) 인 정수 \(ad-bc= 1\) 가 존재하면, \(f\sim g\) 이라 함
primitive 이차형식
\(a,b,c\) 가 서로소인 이차형식 \(ax^2+bxy+cy^2\)
기약 형식
- 양의 정부호 형식(positive definite) 인 경우에 다음 조건을 만족시키면 기약 형식이라 부름
  \(|b|\leq a \leq c\) and \(b \geq 0\) if either \(|b|=a \) or \(a=c\)

주어진 이차형식이 표현할 수 있는 정수에 관한 문제
- 예) \(x^2+ny^2\) 꼴로 표현될 수 있는 정수집합은 무엇인가?
- 예) \(x^2+ny^2\) 꼴로 표현될 수 있는 소수는 무엇인가?
주어진 판별식\(\Delta\) 를 갖는 이차형식의 동치류를 분류하는 문제
- \(\Delta=b^2-4ac\)를 만족시키는 모든 \(ax^2+bxy+cy^2\) 형태의 정수계수 다항식을 찾는 것
- 판별식이 \(\Delta\)인 primitive 이차형식의 동치류의 개수를 \(\Delta\)에 대한 class number 라 함

\(\Delta=b^2-4ac=-12\)
- \(3x^2+y^2\)
- \(2x^2+2xy+2y^2\) (이 경우는 primitive 가 아님)
\(\Delta=b^2-4ac=-15\)
- \(x^2+xy+4y\)
- \(2x^2+xy+2y^2\)

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 **  즉 <math>f(x,y)=g(ax+by,cx+dy)</math> 인 정수 <math>ad-bc= 1</math> 가 존재하면, <math>f\sim g</math> 이라 함<br>
 *  primitive 이차형식<br><math>a,b,c</math> 가 서로소인 이차형식 <math>ax^2+bxy+cy^2</math><br>
-*  기약형태<br>  <br>
+*  기약 형식<br>
+**  양의 정부호 형식(positive definite) 인 경우에 다음 조건을 만족시키면 기약 형식이라 부름<br><math>|b|\leq a \leq c</math> and <math>b \geq 0</math> if either <math>|b|=a </math> or <math>a=c</math><br>  <br>
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 * [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
-** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
+** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=definite
 * [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid={D6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A}&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]