"카탈란 수 (Catalan numbers)"의 두 판 사이의 차이
(피타고라스님이 이 페이지의 이름을 카탈란 수(Catalan numbers)로 바꾸었습니다.) |
|||
| 18번째 줄: | 18번째 줄: | ||
<h5>점화식</h5> | <h5>점화식</h5> | ||
| − | <math>c_{n+1}=c_0c_n+c_1c_{n-1}+\cdots+c_nc_0</math> | + | * <math>c_{n+1}=c_0c_n+c_1c_{n-1}+\cdots+c_nc_0</math> |
| 31번째 줄: | 31번째 줄: | ||
(증명) | (증명) | ||
| − | + | ''''''''''''<math>x G(x)^2= (c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + \cdots + c_n x^n + \cdots)^2=c_0^2x+(c_0c_1+c_1c_0)x^2+(c_0c_2+c_1c_1+c_2c_0)x^3+\cdots=G(x)-1</math>'''''''''''' | |
| + | |||
| + | <math>x G(x)^2-G(x)+1=0</math> | ||
| + | |||
| + | 따라서 ''''''''''''<math>G(x)= \frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}</math>'''''''''''' ■ | ||
| 111번째 줄: | 115번째 줄: | ||
이렇게 해서 얻어진 수열 을 catalan number라고 하는데, 이 수는 조합수학에서 꽤나 자주 등장한다. | 이렇게 해서 얻어진 수열 을 catalan number라고 하는데, 이 수는 조합수학에서 꽤나 자주 등장한다. | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | <h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">적분표현</h5> | ||
| + | |||
| + | <math>\int_{0}^{1} 2^{2n+1}{\cos^{2n} \pi x}\, {\sin^2 \pi x}\,dx</math> | ||
| + | |||
| + | |||
2010년 4월 5일 (월) 11:42 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
개요
- 조합수학에서 빈번하게 등장하는 수열의 하나
- (0,0)에서 (n,n)까지 격자점을 지나는 최단거리의 경로 중에서 직선 \(y=x\)를 넘지 않는 경우의 수
- \(n\geq 0 \)에 대하여 다음과 같이 주어짐
\(c_n = \frac{1}{n+1}{2n\choose n} = \frac{(2n)!}{(n+1)!\,n!}\) - 수열
1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, …
점화식
- \(c_{n+1}=c_0c_n+c_1c_{n-1}+\cdots+c_nc_0\)
생성함수
- 기본적인 내용에 대해서는 생성함수
- '''''''\(G(x)= c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + \cdots + c_n x^n + \cdots=\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}\)'''''''
(증명)
'''''''\(x G(x)^2= (c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + \cdots + c_n x^n + \cdots)^2=c_0^2x+(c_0c_1+c_1c_0)x^2+(c_0c_2+c_1c_1+c_2c_0)x^3+\cdots=G(x)-1\)'''''''
\(x G(x)^2-G(x)+1=0\)
따라서 '''''''\(G(x)= \frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}\)''''''' ■
격자경로와 카탈란 수
- (0,0)에서 (n,n)까지 격자점을 지나는 최단거리의 경로
'\({2n \choose n}\)' - (0,0)에서 (n,n)까지 격자점을 지나는 최단거리의 경로 중에서 직선 \(y=x\)를 넘지 않는 경우의 수
(0,0)에서 (n,n)까지 갈 수 있는 모든 방법의 수를 구한 다음,
그 중에서 y=x를 넘어서 가는 방법의 수를 빼면 된다. 이 방법의 수가 얼마가 되겠느냐를 구하는 과정에서 일대일대응이 등장한다.
일단계
(0,0)에서 (n,n)까지 갈 수 있는 모든 방법의 수를 구해 보자.
이것은 매우 간단한 문제인데, 일대일대응을 통하여 문제를 풀어보자.
각 경로에서 x축으로 움직이는 것을 X로 표시하고 y축으로 움직이는 것을 Y로 표시하면, 각 경로는 X와Y를 n개 씩 쓴 문자열로 표현된다. 이것이 일대일 대응이다. 각각의 경로는 서로 다른 문자열로 표현될테고, 문자열은 또한 어떤 경로를 표현할테니까 말이다.
따라서 죽 늘어놓은 2n개 중에서 n개를 골라 X라고 써 놓으면 나머지 위치는 Y가 될 것이고 결정될 것이고, 그런 방법의 수는 이다.
즉, (0,0)에서 (n,n)까지 갈 수 있는 모든 방법의 수는 이다.
이단계
이제 y=x를 넘어서서 가는 경로의 수를 구하자. 경로는 반드시 y=x+1과 만나게 될 것이다.
이 때, 이 경로의 (0,0)에서부터 y=x+1과 처음으로 만나는 점까지를 잘라서, y=x에 대칭시키자.
그리고 나머지 경로를 평행이동시켜 대칭이동된 경로에 갖다붙이자.
그 결과는 (0,0)에서 출발하여 (n+1,n-1)에 도착하는 경로일 것이다.
위에서 한 작업은 서로 다른 두 경로의 집합 사이에 어떤 대응을 만들어 낸 것이다. 이 대응은 일대일 대응이다.
일대일대응임을 보이기 위해서는 두 가지를 생각해야 한다. 첫번째는, 서로 다른 것으로 대응되었는지를 살피고, 두번째는 공역의 모든 원소가 대응되었는지를 살피는 것이다.
y=x를 넘어서서 가는 경로는 (0,0)에서 (n+1,n-1)까지 가는 경로와 일대일 대응되므로 그 개수는 \({2n \choose n+1}\)이다.
따라서 처음에 제기했던 문제의 답은 다음과 같다.
이렇게 해서 얻어진 수열 을 catalan number라고 하는데, 이 수는 조합수학에서 꽤나 자주 등장한다.
적분표현
\(\int_{0}^{1} 2^{2n+1}{\cos^{2n} \pi x}\, {\sin^2 \pi x}\,dx\)
재미있는 사실
역사
메모
관련된 항목들
수학용어번역
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Catalan_number
- http://en.wikipedia.org/wiki/
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
관련논문
관련도서 및 추천도서
- 도서내검색
- 도서검색
관련기사
- 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)