"타원 둘레의 길이"의 두 판 사이의 차이
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| − | * 역사적으로 타원의 둘레의 길이를 구하는 | + | * 역사적으로 타원의 둘레의 길이를 구하는 적분에서 [[타원적분(통합됨)|타원적분]]의 이름이 붙여짐 |
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| − | * | + | * 매개화는 <math>x=a \sin \theta</math>, <math>y=b \cos \theta</math>, <math>0\leq \theta \leq 2\pi</math> 로 주어짐 |
| − | * 둘레의 | + | * 둘레의 길이는 <math>4aE(k)</math>로 주어진다. 여기서 E는 [[제2종타원적분 E (complete elliptic integral of the second kind)]]<br> |
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| − | <math>4\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}\sqrt{a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta}d\theta=4\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}\sqrt{a^2+(b^2-a^2)\sin^2\theta}d\theta</math> | + | <math>4\int^{\frac{\pi}{2}}_ {0}\sqrt{a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta}d\theta=4\int^{\frac{\pi}{2}}_ {0}\sqrt{a^2+(b^2-a^2)\sin^2\theta}d\theta</math> |
| − | <math>=4\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}a\sqrt{1-(1-\frac{b^2}{a^2})\sin^2\theta}d\theta=4a\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}d\theta=4aE(k)</math> | + | <math>=4\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}a\sqrt{1-(1-\frac{b^2}{a^2})\sin^2\theta}d\theta=4a\int^{\frac{\pi}{2}}_ {0}\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}d\theta=4aE(k)</math> |
| − | + | 여기서 <math>k=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}</math> 는 타원의 이심률 | |
<math>E(k)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-k^2\sin^2 \theta} d\theta =\int_{0}^{1}\frac{\sqrt{1-k^2x^2}}{\sqrt{1-x^2}} dx=\int_{0}^{1}\frac{1-k^2x^2}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}\,dx</math> | <math>E(k)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-k^2\sin^2 \theta} d\theta =\int_{0}^{1}\frac{\sqrt{1-k^2x^2}}{\sqrt{1-x^2}} dx=\int_{0}^{1}\frac{1-k^2x^2}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}\,dx</math> | ||
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* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]] | * [[수학사연표 (역사)|수학사연표]] | ||
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* [[렘니스케이트(lemniscate) 곡선의 길이와 타원적분|lemniscate 곡선의 길이와 타원적분]]<br> | * [[렘니스케이트(lemniscate) 곡선의 길이와 타원적분|lemniscate 곡선의 길이와 타원적분]]<br> | ||
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* [[타원]]<br> | * [[타원]]<br> | ||
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* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxSG51WlY4ZTUtTVU/edit | * https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxSG51WlY4ZTUtTVU/edit | ||
2012년 9월 8일 (토) 14:08 판
개요
- 초등함수를 사용하여 닫힌형태로 표현할 수 없고, 타원적분이 필요하다
- 역사적으로 타원의 둘레의 길이를 구하는 적분에서 타원적분의 이름이 붙여짐
타원 둘레 길이의 유도
- 타원 \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)의 둘레의 길이는 다음과 주어짐. 여기서 \(a>b>0\)라 가정.
- 매개화는 \(x=a \sin \theta\), \(y=b \cos \theta\), \(0\leq \theta \leq 2\pi\) 로 주어짐
- 둘레의 길이는 \(4aE(k)\)로 주어진다. 여기서 E는 제2종타원적분 E (complete elliptic integral of the second kind)
- 유도과정
\(4\int^{\frac{\pi}{2}}_ {0}\sqrt{a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta}d\theta=4\int^{\frac{\pi}{2}}_ {0}\sqrt{a^2+(b^2-a^2)\sin^2\theta}d\theta\)
\(=4\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}a\sqrt{1-(1-\frac{b^2}{a^2})\sin^2\theta}d\theta=4a\int^{\frac{\pi}{2}}_ {0}\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}d\theta=4aE(k)\)
여기서 \(k=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\) 는 타원의 이심률
\(E(k)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-k^2\sin^2 \theta} d\theta =\int_{0}^{1}\frac{\sqrt{1-k^2x^2}}{\sqrt{1-x^2}} dx=\int_{0}^{1}\frac{1-k^2x^2}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}\,dx\)
역사
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
- https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxSG51WlY4ZTUtTVU/edit
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- http://functions.wolfram.com/
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- Abramowitz and Stegun Handbook of mathematical functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
- Numbers, constants and computation
- 매스매티카 파일 목록