"타원곡선"의 두 판 사이의 차이

2009년 10월 16일 (금) 20:29 판

\(y^2=4x^3-g_2(\tau)x-g_3\)

\(g_2(\tau) = 60G_4=60\sum_{ (m,n) \neq (0,0)} \frac{1}{(m+n\tau )^{4}}\)

\(g_3(\tau) = 140G_6=140\sum_{ (m,n) \neq (0,0)} \frac{1}{(m+n\tau )^{6}}\)

chord-tangent method
유리수해에 대한 Mordell theorem
- 유리수체 위에 정의된 타원의 유리수해는 유한생성아벨군의 구조를 가짐
- \(\mathbb{Z}^r \oplus \mathbb{T}\)

the only possible torsion groups for elliptic curves over Q are the cyclic groups of order 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12 [sic -- 11 is not possible] and
\(\frac{\mathbb Z}{2\mathbb Z}\oplus \frac{\mathbb Z}{n\mathbb Z}\) for n=1,2,3,4
예) \(E_n : y^2=x^3-n^2x\)의 torsion은 \(\{(\infty,\infty), (0,0),(n,0),(-n,0)\}\)임

\(y^2=x^3-x\)
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유리수해
\(E(\mathbb Q)=\{(\infty,\infty), (0,0),(1,0),(-1,0)\} \simeq \frac{\mathbb Z}{2\mathbb Z}\oplus \frac{\mathbb Z}{2\mathbb Z}\)
주기
\(2\omega=4\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=B(1/2,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=5.24\cdots\)

Birch and Swinnerton-Dyer conjecture

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 * [[congruent number 문제]]
 * [[사각 피라미드 퍼즐]]
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 * chord-tangent method
-*  유리수해에 대한 Mordell-Weil theorem<br>  <br>
+*  유리수해에 대한 Mordell theorem<br>
+** 유리수체 위에 정의된 타원의 유리수해는 유한생성아벨군의 구조를 가짐
+** <math>\mathbb{Z}^r \oplus \mathbb{T}</math><br>  <br>
+<h5>덧셈공식</h5>
+* <math>y^2=4x^3-g_2(\tau)x-g_3</math><br>