"포함과 배제의 원리"의 두 판 사이의 차이

수학노트
둘러보기로 가기 검색하러 가기
잔글 (찾아 바꾸기 – “==관련도서== * 도서내검색<br> ** http://books.google.com/books?q= ** http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=” 문자열을 “” 문자열로)
잔글 (찾아 바꾸기 – “==관련논문== * http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query= * http://www.ams.org/mathscinet * http://dx.doi.org/” 문자열을 “” 문자열로)
95번째 줄: 95번째 줄:
 
 
 
 
  
−
==관련논문==
 
  
−
* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
 
−
* http://www.ams.org/mathscinet
 
−
* http://dx.doi.org/
 
  
 
 
 
 
  
 
 
 
 

2012년 11월 2일 (금) 07:41 판

개요

  • \(|A\cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|\)
  • \(|A\cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A\cap B| - |B\cap C| - |C\cap A| + |A\cap B\cap C|\)
  • 일반적으로 집합 A의 부분집합 \(A_i\)에 대하여, 다음이 성립한다. \[\biggl|\bigcup_{i=1}^n A_i\biggr| =\sum_{i=1}^n\left|A_i\right|-\sum_{i,j\,:\,1 \le i < j \le n}\left|A_i\cap A_j\right| +\sum_{i,j,k\,:\,1 \le i < j < k \le n}\left|A_i\cap A_j\cap A_k\right|-\ \cdots\ + \left(-1\right)^{n-1} \left|A_1\cap\cdots\cap A_n\right|\]
  • 뫼비우스 반전공식 의 특별한 경우로 이해할 수 있다

 

증명

  • 집합 A의 부분집합 \(A_i\)에 대하여, 다음이 성립한다

\[\biggl|\bigcup_{i=1}^n A_i\biggr| =\sum_{i=1}^n\left|A_i\right|-\sum_{i,j\,:\,1 \le i < j \le n}\left|A_i\cap A_j\right| +\sum_{i,j,k\,:\,1 \le i < j < k \le n}\left|A_i\cap A_j\cap A_k\right|-\ \cdots\ + \left(-1\right)^{n-1} \left|A_1\cap\cdots\cap A_n\right|\]

(증명)

\(a\in \bigcup_{i=1}^n A_i\) 가 \(A_i\) 들 중 k 개의 집합에 속해 있으면, a 는 우변을 통하여 \(\sum _{l=1}^k (-1)^{l-1} \binom{k}{l}=1\) 번 세어지게 된다. ■

 

\(|A-\underset{i\in {1,2,\cdots,n}}{\cup }A_i|=|A|-(\sum_{i=1}^n\left|A_i\right|-\sum_{i,j\,:\,1 \le i < j \le n}\left|A_i\cap A_j\right| +\sum_{i,j,k\,:\,1 \le i < j < k \le n}\left|A_i\cap A_j\cap A_k\right|-\ \cdots\ + \left(-1\right)^{n-1} \left|A_1\cap\cdots\cap A_n\right|)\)

로 표현되기도 한다

 

응용

 

 

역사

 

 

 

메모

 

 

 

관련된 항목들

 

 

 

수학용어번역


사전 형태의 자료

 

 

리뷰논문, 에세이, 강의노트=

 

 


 

 

원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=포함과_배제의_원리&oldid=21353"