"푸앵카레 상반평면 모델"의 두 판 사이의 차이

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*  이상삼각형(ideal triangle) <math>D=pq\infty</math>의 넓이<br><math>x(P)</math> 를 점 <math>P</math>의 <math>x</math>좌표라 하고, <math>x(p)=a</math>, <math>x(q)=b</math>라 두자.<br><math>A(D)=\int\int_{D}\frac{dx\,dy}{y^2}=\int_{a}^{b}\int_{\sqrt{1-x^2}}^{\infty}\frac{dy\,dx}{y^2}=\int_{a}^{b}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx=-\int_{\pi-\alpha}^{\beta+\beta'}\,d\theta=\pi-\alpha-\beta-\beta'</math><br><math>x=\cos \theta</math>로 치환하면, <math>a=\cos (\pi-\alpha)</math>, <math>b=\cos (\beta+\beta')</math><br>  <br>
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*  이상삼각형(ideal triangle) <math>D=pq\infty</math>의 넓이<br><math>x(P)</math> 를 점 <math>P</math>의 <math>x</math>좌표라 하고, <math>x(p)=a</math>, <math>x(q)=b</math>라 두자.<br><math>A(D)=\int\int_{D}\frac{dx\,dy}{y^2}=\int_{a}^{b}\int_{\sqrt{1-x^2}}^{\infty}\frac{dy\,dx}{y^2}=\int_{a}^{b}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx=-\int_{\pi-\alpha}^{\beta+\beta'}\,d\theta=\pi-\alpha-\beta-\beta'</math><br><math>x=\cos \theta</math>로 치환, <math>a=\cos (\pi-\alpha)</math>, <math>b=\cos (\beta+\beta')</math>을 사용하였음<br>
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*  이상삼각형(ideal triangle) <math>D'=rq\infty</math>의 넓이<br> 위에서 얻은 결과를 적용할 수 있다<br><math>A(D')=\pi-(\pi-\gamma)-\beta'=\gamma-\beta'</math><br>
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(정리)
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세 각이 <math>\alpha, \beta, \gamma</math>인 쌍곡삼각형 <math>\Delta</math>의 넓이는 <math>\pi - \alpha- \beta- \gamma</math> 로 주어진다
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(증명)
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<math>A(\Delta)=A(D)-A(D')</math>
  
 
 
 
 

2009년 12월 4일 (금) 19:13 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요
  • 쌍곡기하학의 모델

 

  • \(\mathbb{H}^2=\{z=x+iy\in\mathbb{C}|y>0\}\)
  • 리만 메트릭
    \(ds^2=\frac{dx^2+dy^2}{y^2}=\frac{dzd\overline{z}}{y^2}\)
  • 면적소
    \(dA=\frac{dx\,dy}{y^2}\)
  • 두 점 사이의 거리
    \(\rho(z_1,z_2)=2\tanh^{-1}\frac{|z_1-z_2|}{|z_1-\overline{z_2}|}\)
  • isometry 군
    \(\operatorname{PSL}(2,\mathbb{R})\rtimes \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\)
  • 가우스곡률 -1
  • 라플라시안
    \(\Delta=-y^2(\partial_x^2+\partial_y^2)\)

 

 

측지선

 

 

 

삼각형의 넓이

 

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  • 이상삼각형(ideal triangle) \(D=pq\infty\)의 넓이
    \(x(P)\) 를 점 \(P\)의 \(x\)좌표라 하고, \(x(p)=a\), \(x(q)=b\)라 두자.
    \(A(D)=\int\int_{D}\frac{dx\,dy}{y^2}=\int_{a}^{b}\int_{\sqrt{1-x^2}}^{\infty}\frac{dy\,dx}{y^2}=\int_{a}^{b}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx=-\int_{\pi-\alpha}^{\beta+\beta'}\,d\theta=\pi-\alpha-\beta-\beta'\)
    \(x=\cos \theta\)로 치환, \(a=\cos (\pi-\alpha)\), \(b=\cos (\beta+\beta')\)을 사용하였음
  • 이상삼각형(ideal triangle) \(D'=rq\infty\)의 넓이
    위에서 얻은 결과를 적용할 수 있다
    \(A(D')=\pi-(\pi-\gamma)-\beta'=\gamma-\beta'\)

 

(정리)

세 각이 \(\alpha, \beta, \gamma\)인 쌍곡삼각형 \(\Delta\)의 넓이는 \(\pi - \alpha- \beta- \gamma\) 로 주어진다

 

(증명)

\(A(\Delta)=A(D)-A(D')\)

 

 

 

테셀레이션

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