히포크라테스의 초승달

작도와 구적가능성

• 고대 그리스인들에게는 자와 컴파스로 하는 작도 문제가 중요
• 주어진 도형의 면적을 구하는 대신, 같은 면적을 갖는 정사각형을 작도하는 것으로 대신할 수 있음.
• 평면도형이 구적가능하다는 것은 자와 컴파스로 같은 면적을 갖는 정사각형을 작도할 수 있다는 말.
• 유명한 문제로 원의 구적, 즉 원과 같은 넓이의 정사각형 작도 문제가 있음.
  
  • 이 문제는 1882년이 되어서야 불가능한 것으로 해결됨.
• 히포크라테스는 BC440년경, 다음과 같은 발견으로 원의 구적문제가 해결 가능할지도 모른다는 희망을 남김.

 

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어두운 초승달 영역의 넓이와, 삼각형 OAB의 넓이가 같다

재미있는 사실

• 구적가능한 초승달은 다음의 다섯 가지 경우밖에 없음.
• 그림의 u값은 두 부채꼴의 중심각의 비율임.
• 증명은 Hippocrates' lunes and transcendence 를 참조할 것.

 

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관련된 단원

• 작도

 

관련된 다른 주제들

• 피타고라스의 정리
• 작도문제
• 가우스와 정17각형의 작도
• Gelfond-Schneider theorem
• Baker's theorem

 

관련도서 및 추천도서

• Journey through Genius: The Great Theorems of Mathematics
  
  • Chapter 1. Hippocrates' Quadrature of the Lune
  • William Dunham

 

관련된 고교수학 또는 대학수학

• 추상대수학
• 추상대수학의 토픽들

 

참고할만한 자료

• The Problem of Squarable Lunes
  
  • M. M. Postnikov and Abe Shenitzer
  • The American Mathematical Monthly, Vol. 107, No. 7 (Aug. - Sep., 2000), pp. 645-651
• Hippocrates' lunes and transcendence
  
  • Kurt Girstmair
• Chebotarev and his density theorem
  
  • P. Stevenhagen and H. W. Lenstra, Jr