영거리 과정 - 분해된 정상상태

L개의 자리로 이루어진 1차원 격자 위에 N개의 입자가 아무렇게나 놓여 있다고 합시다. 입자의 밀도 ρ는 N / L이겠죠. 각 입자는 일정한 비율로 오른쪽 자리로 이동하는데(hop) 그 비율은 원래 있던 자리에 있었던 입자의 개수에만 의존한다고 합시다. 이걸 영거리 과정(zero range process; ZRP)이라고 합니다. 격자가 아니라 일반적인 그래프 위에서도 정의될 수 있고, 오른쪽 자리만으로 가는 게 아니라 연결된 모든 자리에 갈 수도 있는데 여기서는 생각하지 않겠습니다. 이름이 '영거리'인 이유는 거리가 0인 입자들(즉 같은 자리에 있는 입자들)끼리만 상호작용을 하기 때문입니다.

'영거리'이기 때문에 수학적으로 정확하게 풀 수 있다는 게 이 모형의 장점입니다. 이제 수식을 볼까요. 2005년에 <저널 오브 피직스 에이>에 실린 에반스(M.R. Evans)와 해니(T. Hanney)의 리뷰 논문을 참고했습니다. N개의 입자가 L개의 자리에 분포해 있을 때, 각 자리에 몇 개의 입자가 있는지를 나열하면 그 시스템에 대한 모든 정보가 담겨지겠죠. 이 상태를 배열(configuration)이라고도 합니다. l번째 자리에 n_l개의 입자가 있다면,

\(\{n_l\}=n_1,n_2,\cdots,n_L\)

으로 나타냅니다. 시스템이 이 배열로 일 확률은 다음처럼 씁니다.

\(P(\{n_l\})\)