"분자동역학(molecular dynamics)에 분할 알고리즘 적용하기"의 두 판 사이의 차이
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| + | D.P. 란다우 그룹에서 나온 논문 하나를 훑어봤습니다. 제목은 "Molecular and spin dynamics simulations using modern integration methods(현대 적분 방법을 이용한 분자와 스핀동역학 시늉내기)"이고, <아메리칸 | ||
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질량이 각각 m<sub>i</sub>인 N개의 입자를 생각합시다. 이들의 위치와 속도는 r<sub>i</sub>, v<sub>i</sub>이고 두 입자 사이의 거리의 함수인 포텐셜 u(r<sub>ij</sub>)로 상호작용합니다. 해밀토니안은 다음처럼 씁니다. | 질량이 각각 m<sub>i</sub>인 N개의 입자를 생각합시다. 이들의 위치와 속도는 r<sub>i</sub>, v<sub>i</sub>이고 두 입자 사이의 거리의 함수인 포텐셜 u(r<sub>ij</sub>)로 상호작용합니다. 해밀토니안은 다음처럼 씁니다. | ||
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<math>\frac{dy(t)}{dt}=[y(t),H]\equiv \sum_i\frac{1}{m_i}\left(\frac{\partial y(t)}{\partial r_i} \frac{\partial H}{\partial v_i} - \frac{\partial H}{\partial r_i} \frac{\partial y(t)}{\partial v_i}\right)</math> | <math>\frac{dy(t)}{dt}=[y(t),H]\equiv \sum_i\frac{1}{m_i}\left(\frac{\partial y(t)}{\partial r_i} \frac{\partial H}{\partial v_i} - \frac{\partial H}{\partial r_i} \frac{\partial y(t)}{\partial v_i}\right)</math> | ||
| − | 다시 쓰면, | + | 리우빌 연산자(Liouville operator)로 다시 쓰면, |
<math>\frac{dy(t)}{dt}=\hat L y(t),\ \hat L\equiv \sum_i\frac{1}{m_i}\left(v_i \frac{\partial}{\partial r_i} + \frac{f_i}{m_i} \frac{\partial}{\partial v_i}\right)</math> | <math>\frac{dy(t)}{dt}=\hat L y(t),\ \hat L\equiv \sum_i\frac{1}{m_i}\left(v_i \frac{\partial}{\partial r_i} + \frac{f_i}{m_i} \frac{\partial}{\partial v_i}\right)</math> | ||
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| + | 입니다. 위 식의 해는 다음과 같습니다. | ||
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| + | <math>y(t+\tau)=e^{\hat L\tau}y(t)</math> | ||
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| + | 수치적으로 푸는 여러 방법 중에 분할 알고리즘(decomposition algorithm) | ||
2010년 5월 19일 (수) 00:00 판
D.P. 란다우 그룹에서 나온 논문 하나를 훑어봤습니다. 제목은 "Molecular and spin dynamics simulations using modern integration methods(현대 적분 방법을 이용한 분자와 스핀동역학 시늉내기)"이고, <아메리칸
질량이 각각 mi인 N개의 입자를 생각합시다. 이들의 위치와 속도는 ri, vi이고 두 입자 사이의 거리의 함수인 포텐셜 u(rij)로 상호작용합니다. 해밀토니안은 다음처럼 씁니다.
\(H=\sum_i \frac{1}{2}m_iv_i^2+\sum_{i<j}u(r_{ij})\)
j에 의해 i에 가해지는 힘은
\(f_{ij}=-\nabla_{r_i} u(r_{ij})\)
이고, 이 힘들의 합에 의해 입자의 위치가 변하겠죠.
\(m_i\frac{d^2r_i}{dt^2}=\sum_{j\neq i}f_{ij}\equiv f_i\)
모든 입자의 위치와 속도의 집합을 배열(configuration) y(t)라고 하면, 운동방정식은 뿌아송 괄호를 이용해 다음처럼 간단히 씌어집니다.
\(\frac{dy(t)}{dt}=[y(t),H]\equiv \sum_i\frac{1}{m_i}\left(\frac{\partial y(t)}{\partial r_i} \frac{\partial H}{\partial v_i} - \frac{\partial H}{\partial r_i} \frac{\partial y(t)}{\partial v_i}\right)\)
리우빌 연산자(Liouville operator)로 다시 쓰면,
\(\frac{dy(t)}{dt}=\hat L y(t),\ \hat L\equiv \sum_i\frac{1}{m_i}\left(v_i \frac{\partial}{\partial r_i} + \frac{f_i}{m_i} \frac{\partial}{\partial v_i}\right)\)
입니다. 위 식의 해는 다음과 같습니다.
\(y(t+\tau)=e^{\hat L\tau}y(t)\)
수치적으로 푸는 여러 방법 중에 분할 알고리즘(decomposition algorithm)