연속 대칭인 시스템의 요동과 골드스톤 모드

지난 글에서 연속 대칭과 그것의 스스로 깨짐 현상에 대한 얘기를 했는데요, 이미 가장 중요한 내용은 그 글에서 했습니다. 이 글에서는 골덴펠드(Goldenfeld)의 책을 참고하여 산수를 좀더 해보고자 합니다. n-벡터 스핀 모형의 자유에너지를 써보겠습니다. n이 2 이상인 경우만 '연속 대칭'이 가능하므로 그 경우만 다루겠습니다.

\(F(S)=\frac{1}{2}(\nabla S)^2+\frac{r_0}{2}S^2+\frac{u_0}{4}S^4,\ S=(S_1,\cdots,S_n)\)

S가 공간에 따라 균일하다고 하면 위 우변의 첫번째 항(공간으로 미분한 항)이 없어지고 남은 항들만 갖고 S²을 구합니다.

\(S=0\ \textrm{if}\ r_0>0,\ S^2=-\frac{r_0}{u_0}=m^2\ \textrm{if}\ r_0<0\)

위의 두번째 경우 S²의 크기는 정해져 있지만 S의 방향은 아직 정해지지 않았습니다. S가 벡터라는 걸 기억하시고요. 외부 장이 없으므로 그 방향은 아무데나 향할 수도 있습니다. 편의상 (1,0,...,0) 방향이라고 합시다.

\(\langle S\rangle = m\vec n,\ \vec n=(1,0,\cdots,0)\)

이제 S가 공간에 따라 균일하지 않고 일정한 요동을 하고 있다고 합시다. 그러면 앞에서 무시했던 자유에너지의 첫번째 항이 되살아나겠죠. S도 다음처럼 n차원 요동 φ를 이용해서 쓸 수 있습니다.

\(S=m\vec n + m(\phi_1\vec n +\vec\phi_\perp),\ \vec\phi_\perp=(0,\phi_2,\cdots,\phi_n)\)

S도 벡터인데 S만 벡터표시가 없고 나머지는 있는데 귀찮아서 안쓰다보니;;; 그런 겁니다. 이 S를 F(S)에 넣고 요동에 관한 항들만 2차항까지만 추려서 정리하면 다음과 같습니다.

\(F_{\phi}=\frac{m^2}{2}\left[(\nabla\phi_1)^2+(\nabla\phi_\perp)^2+2|r_0|\phi_1^2\right]\)

그럼 해밀토니안은 다음과 같겠죠.

\(H_\phi=\int d^dx F_{\phi}=\frac{m^2}{2}\int d^dx\left[(\nabla\phi_1)^2+(\nabla\phi_\perp)^2+2|r_0|\phi_1^2\right]\)

이걸 푸리에 변환해주면...

\(H_\phi=\frac{1}{V}\sum_k \left[\frac{1}{2}|\hat\phi_{1k}|^2 m^2(2|r_0|+k^2)+\frac{1}{2}|\hat\phi_{\perp k}|^2 m^2k^2\right]\)

이로부터 상관함수를 얻을 수 있습니다.

\(G_\|(k)= \frac{m^{-2}}{2|r_0|+k^2},\ G_\perp(k)= \frac{m^{-2}}{k^2}\)