요르단-위그너 변환 (Jordan-Wigner transformation)

2차원 이징 모형을 푸는 방법 중 하나(사실 이것밖에 모름;;;)를 쓰려고 하는데요, 여기에 쓰이는 요르단-위그너 변환을 미리 소개합니다. 이징 스핀이 +1 또는 -1의 값을 갖는데, 각각을 다음과 같은 벡터로 나타냅니다.

\($|+\rangle=\begin{pmatrix}1 \\ 0 \end{pmatrix},\ |-\rangle=\begin{pmatrix}0 \\ 1 \end{pmatrix}$\)

스핀을 -1에서 +1로, 또는 +1에서 -1로 뒤집으려면 아래 행렬을 곱해줍니다.

\(\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\ 0 \end{pmatrix}:\ \sigma^+|-\rangle=|+\rangle,\ \begin{pmatrix}0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 1 \end{pmatrix}:\ \sigma^-|+\rangle=|-\rangle\)

M개의 스핀이 원의 둘레 위에 균일하게 놓여 있다고 합시다. 번호를 붙이면 1번부터 M번입니다. 여기서 j번째 스핀에 작용하는 파울리 연산자(Pauli operator) σ를 페르미온 연산자(fermion operator)로 변환시켜주는 게 요르단-위그너 변환(제 맘대로 줄여서 J-W)입니다.

\(\sigma_j^+ =\exp\left\{\pi i \sum_{m=1}^{j-1} c_m^\dagger c_m \right\} c_j^\dagger,\ \sigma_j^- =\exp\left\{\pi i \sum_{m=1}^{j-1} c_m^\dagger c_m \right\} c_j\)

그럼 페르미온 연산자는 뭐냐... 페르미온 입자를 생성하기도 하고(†가 붙은 c) 소멸시키기도 하는(†가 없는 c) 연산자를 말합니다. 입자가 없는 진공 상태를 |>로 나타내겠습니다. 이 진공에 생성연산자를 이용해서 j라는 입자를 만들겠습니다.

\(c_j^\dagger |\rangle=|j\rangle\)

j를 없애볼까요?

\(c_j|j\rangle=|\rangle\)

증명은 하지 않겠지만 이 연산자들은 다음과 같은 성질을 만족시킵니다.

\([c_j,c_m^\dagger]_+\equiv c_jc_m^\dagger+ c_m^\dagger c_j =\delta_{jm},\ [c_j,c_m]_+ = [c_j^\dagger,c_m^\dagger]_+ =0\)

\(c_m^\dagger c_m |m\rangle = |m\rangle,\ c_m^\dagger c_m |\rangle = 0\)

위 아래식에서 보듯이 c†c는 입자 m의 개수를 측정합니다. 그래서 이름도 페르미온 수연산자(fermion number operator)입니다. 이 연산자의 값은 1 또는 0이므로 결국 J-W에서 지수 위의 합의 값은 음이 아닌 정수가 되고 결국 지수의 값도 +1이나 -1 중 하나입니다. 괜히 복잡해보이죠?;;; 간단히 다시 쓰면 아래와 같습니다.

\(\sigma_j^+ = \left\{\begin{array}{cl} c_j^\dagger & \textrm{if}\ \sum_{m=1}^{j-1}c_m^\dagger c_m\ \textrm{even} \\ -c_j^\dagger & \textrm{if}\ \sum_{m=1}^{j-1}c_m^\dagger c_m\ \textrm{odd}\end{array}\right.\)

이 식에서 파울리 연산자는 j번째 스핀을 -1에서 +1로 뒤집으라는 말이고, 페르미온 연산자는 j라는 입자를 생성하라는 말입니다. 그런데 왜 1부터 j-1까지 입자가 몇 개냐가 중요하며 이게 또 부호를 결정할까요. 간단한 예를 들어봅시다.

\(|+-+\rangle & \leftrightarrow & |13\rangle \\ \sigma_2^+|+-+\rangle=|+++\rangle & \leftrightarrow & c_2^\dagger |13\rangle = |213\rangle= -|123\rangle\)

첫째줄부터 보면, 1번, 3번 스핀은 +1이고 2번 스핀만 -1입니다. 이걸 입자 번호로만 표현하면 |13>이 되죠. 둘째줄은 -1인 2번 스핀을 뒤집어서 +1로 만드는 연산을 보여줍니다. 여기에 해당하는 페르미온 연산은 2번 입자를 생성하는 것이죠. 다만 2번 입자는 1번 입자 '왼쪽'에 생성됩니다. 1번 입자와 2번 입자의 위치를 바꿔주는 과정에서 - 부호가 들어오죠. 위에 간단히 다시 쓴 J-W 식을 보면 2번보다 낮은 번호의 입자가 1개, 즉 홀수개 있었으므로 - 부호가 필요합니다.

힘빠지네요. 설명은 다 했습니다. 끝.

 

 

관련논문

• Two soluble models of an antiferromagnetic chain
  
  • Elliott Lieb, Theodore Schultz and Daniel Mattis, Annals of Physics, Volume 16, Issue 3, December 1961, Pages 407-466
• http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
• http://www.ams.org/mathscinet
• http://dx.doi.org/