띄엄띄엄 가우스 모형과 XY 모형의 이중성

XY 모형에 관한 지난 글에서 XY 모형과 쿨롱 기체 모형(CG)과 사인-고든 모형(SG)이 연관되어 있다고 얘기했고요, 또 그 이전 글에서는 사인-고든 모형과 띄엄띄엄 가우스 모형(DG) 사이의 관계를 얘기했습니다. 오늘은 DG와 XY가 이중성(duality)으로 연결되어 있다는 얘기를 하려고 합니다. 제가 태어나기도 전에 출판된 다음 논문을 참고했습니다.

H. J. F. Knops, Exact Relation between the Solid-on-Solid Model and the XY Model, Phys. Rev. Lett. 39, 766 (1977) [링크]

논문 제목에는 SOS 모형으로 나와있지만 이게 DG입니다. 계속 DG라고 쓰겠습니다. 2차원 사각 격자 위의 각 자리 i에 정수의 값을 갖는 변수 h_i가 있다고 합시다. 에너지는 이웃한 h의 차이에 관한 함수로 씁니다.

\(H=\sum_{\langle ij\rangle}V(h_i-h_j),\ n_{ij}=h_i-h_j\)

이웃한 두 h의 차이를 n으로 정의합니다. 사각 격자는 단위 정사각형을 이어붙여서 만들 수 있죠. 어떤 단위 정사각형의 네 꼭지점을 i, j, k, l이라고 하면 다음의 조건을 만족시킵니다.

\(\sum n_{ij}\equiv n_{ij}+n_{jk}+n_{kl}+n_{li}=0\)

각 n에 h들을 넣어보면 쉽게 알 수 있죠. 이 네 개의 자리로 둘러싸인 영역에 j'이라는 이름을 붙여줍니다. 즉 원래 사각격자의 이중 격자(dual lattice)의 각 자리를 j'처럼 따옴표를 붙여서 나타냅니다. 아래 그림을 참고하세요.

위 조건은 다음처럼 쓸 수도 있지요.

\(\delta_{\sum n_{ij},0}=\int_0^{2\pi}\frac{d\phi_{j'}}{2\pi}\exp\left\{i\phi_{j'}\sum n_{ij}\right\}\)

좌변은 크로네커 델타입니다. 그럼 이제 DG의 분배함수를 볼까요.

\(Z_{DG}&=&\sum_{\{h_i\}}\exp\left[-\sum_{\langle ij\rangle}V(h_i-h_j)\right]\\ &=&\sum_{\{n_{ij}\}}\exp\left[-\sum_{\langle ij\rangle}V(n_{ij})\right]\delta_{\sum n_{ij},0}\\ &=&\int\prod_{j'}\frac{d\phi_{j'}}{2\pi}\sum_{\{n_{ij}\}}\exp\left[i\phi_{j'}\sum n_{ij}-\sum_{\langle ij\rangle}V(n_{ij})\right]\)

지수 위의 n_ij들에 관한 합은 각 j'을 둘러싼 링크들에 대한 합이므로, 위 그림에서 보듯이 각 n_ij는 φ_i'과 φ_j'과 곱해져 있습니다. (i, j, i', j' 모두 편의상 붙인 기호입니다.) 그래서 각 n_ij에 대해서만 다시 써보겠습니다.

\(\sum_{n_{ij}=-\infty}^\infty\exp\left[i(\phi_{i'}-\phi_{j'}) n_{ij}-V(n_{ij})\right]=\exp [\tilde V(\phi_{i'}-\phi_{j'})]\)

좌변부터 보면, 부호가 약간 이상하죠. 각 n과 각 φ의 곱은 원래 부호가 다 똑같았는데 한놈의 부호가 음수가 되었습니다. 일종의 트릭(?) 같은데요, 수학적으로 문제가 되지는 않습니다. 여튼 이것들의 합을 우변처럼 쓰겠다고 합니다. 결과적으로 다음을 얻습니다.

\(Z_{DG}=\int\prod_{j'}\frac{d\phi_{j'}}{2\pi}\exp\left[-\sum_{\langle i'j'\rangle}V(\phi_{i'}-\phi_{j'})\right]\)