"여러겹 쪽거리(multifractal)와 f-α 표현"의 두 판 사이의 차이
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오늘 소개할 논문은 여러겹 쪽거리(multifractal)에 관한 건데요, 카다노프(Leo Kadanoff)가 공동저자로 참여했고 1저자는 T. Halsey(핼시?)입니다. [http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevA.33.1141 1986년에 <피지컬 리뷰 에이(PRA)>에 실린 논문]인데 아는 분이 알려주셔서 읽어보았습니다. 또한 [http://www.nature.com/nature/journal/v335/n6189/abs/335405a0.html 1988년에 <네이처>에 실린 스탠리(H.E. Stanley)의 짧은 리뷰 논문]도 참고했습니다. | 오늘 소개할 논문은 여러겹 쪽거리(multifractal)에 관한 건데요, 카다노프(Leo Kadanoff)가 공동저자로 참여했고 1저자는 T. Halsey(핼시?)입니다. [http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevA.33.1141 1986년에 <피지컬 리뷰 에이(PRA)>에 실린 논문]인데 아는 분이 알려주셔서 읽어보았습니다. 또한 [http://www.nature.com/nature/journal/v335/n6189/abs/335405a0.html 1988년에 <네이처>에 실린 스탠리(H.E. Stanley)의 짧은 리뷰 논문]도 참고했습니다. | ||
| − | 어떤 대상을 잘게 조각낸다고 합시다. 각 조각을 그것의 크기와 이외의 다른 성질, 이를테면 마구걷개가 이 조각을 방문할 확률 같은 걸로 기술한다고 합시다. 길이가 l 정도 되는 조각을 방문할 확률 p와 그런 조각들의 개수(또는 이를 전체 조각의 개수로 나눈 밀도)를 | + | 어떤 대상을 잘게 조각낸다고 합시다. 각 조각을 그것의 크기와 이외의 다른 성질, 이를테면 마구걷개가 이 조각을 방문할 확률 같은 걸로 기술한다고 합시다. 길이가 l 정도 되는 조각을 방문할 확률 p와 그런 조각들의 개수(또는 이를 전체 조각의 개수로 나눈 밀도)를 n이라고 합시다. |
| − | <math>p\sim l^\alpha,\ | + | <math>p\sim l^\alpha,\ n\sim l^{-f(\alpha)}</math> |
단순한 눈금잡기가 적용되는 시스템이라면 α나 f(α)는 하나의 값만을 가지겠지만, 좀더 복잡한 시스템이라면 α나 f(α)가 여러 값을 갖거나 연속적인 값을 가질 수도 있습니다. 전자의 경우를 그냥 쪽거리(fractal)라 한다면, 후자는 여러겹 쪽거리라 할 수 있습니다. 여기서 α는 특이성(singularity)에 관한 지수라고 하고(걍 특이성 지수라고 부르겠습니다), f(α)는 밀도 지수(density exponent)라 부릅니다. | 단순한 눈금잡기가 적용되는 시스템이라면 α나 f(α)는 하나의 값만을 가지겠지만, 좀더 복잡한 시스템이라면 α나 f(α)가 여러 값을 갖거나 연속적인 값을 가질 수도 있습니다. 전자의 경우를 그냥 쪽거리(fractal)라 한다면, 후자는 여러겹 쪽거리라 할 수 있습니다. 여기서 α는 특이성(singularity)에 관한 지수라고 하고(걍 특이성 지수라고 부르겠습니다), f(α)는 밀도 지수(density exponent)라 부릅니다. | ||
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<math>\chi(q)=\sum_i p_i^q=\sum_p n(p)p^q=\sum_p e^{F(p)},\ F(p)=\ln n(p)+q\ln p</math> | <math>\chi(q)=\sum_i p_i^q=\sum_p n(p)p^q=\sum_p e^{F(p)},\ F(p)=\ln n(p)+q\ln p</math> | ||
| − | 여기서 i는 앞에서 말한 각 조각에 붙은 번호입니다. p라는 확률을 가진 조각의 개수를 n(p)라고 하고, 이 식을 다시 변형하면 맨 오른쪽처럼 쓸 수 있습니다. F(p) | + | 여기서 i는 앞에서 말한 각 조각에 붙은 번호입니다. p라는 확률을 가진 조각의 개수를 n(p)라고 하고, 이 식을 다시 변형하면 맨 오른쪽처럼 쓸 수 있습니다. F(p)를 최대로 하는 p를 p*라고 하면, 다음처럼 어림할 수 있습니다. |
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| + | <math>\chi(q)\approx n(p^*)(p^*)^q\sim l^{q\alpha-f(\alpha)}</math> | ||
2009년 6월 13일 (토) 21:34 판
오늘 소개할 논문은 여러겹 쪽거리(multifractal)에 관한 건데요, 카다노프(Leo Kadanoff)가 공동저자로 참여했고 1저자는 T. Halsey(핼시?)입니다. 1986년에 <피지컬 리뷰 에이(PRA)>에 실린 논문인데 아는 분이 알려주셔서 읽어보았습니다. 또한 1988년에 <네이처>에 실린 스탠리(H.E. Stanley)의 짧은 리뷰 논문도 참고했습니다.
어떤 대상을 잘게 조각낸다고 합시다. 각 조각을 그것의 크기와 이외의 다른 성질, 이를테면 마구걷개가 이 조각을 방문할 확률 같은 걸로 기술한다고 합시다. 길이가 l 정도 되는 조각을 방문할 확률 p와 그런 조각들의 개수(또는 이를 전체 조각의 개수로 나눈 밀도)를 n이라고 합시다.
\(p\sim l^\alpha,\ n\sim l^{-f(\alpha)}\)
단순한 눈금잡기가 적용되는 시스템이라면 α나 f(α)는 하나의 값만을 가지겠지만, 좀더 복잡한 시스템이라면 α나 f(α)가 여러 값을 갖거나 연속적인 값을 가질 수도 있습니다. 전자의 경우를 그냥 쪽거리(fractal)라 한다면, 후자는 여러겹 쪽거리라 할 수 있습니다. 여기서 α는 특이성(singularity)에 관한 지수라고 하고(걍 특이성 지수라고 부르겠습니다), f(α)는 밀도 지수(density exponent)라 부릅니다.
이제 아래와 같은 양을 생각해보겠습니다.
\(\chi(q)=\sum_i p_i^q=\sum_p n(p)p^q=\sum_p e^{F(p)},\ F(p)=\ln n(p)+q\ln p\)
여기서 i는 앞에서 말한 각 조각에 붙은 번호입니다. p라는 확률을 가진 조각의 개수를 n(p)라고 하고, 이 식을 다시 변형하면 맨 오른쪽처럼 쓸 수 있습니다. F(p)를 최대로 하는 p를 p*라고 하면, 다음처럼 어림할 수 있습니다.
\(\chi(q)\approx n(p^*)(p^*)^q\sim l^{q\alpha-f(\alpha)}\)
χ를 다음처럼 쓸 수도 있습니다.
\(\chi(q)=\int d\alpha' \rho(\alpha')l^{-f(\alpha')}l^{q\alpha'}\)
\(D_q=\lim_{l\to 0}\left[\frac{1}{q-1}\frac{\ln\chi(q)}{\ln l}\right],\ \chi(q)=\sum_i p_i^q\)