이토와 스트라토노비치

뭔가 해결되지 않은 문제가 머리 속을 굴러다니다 해야 할 일이 많음에도 갑툭튀 했습니다. 어쩔 수 없죠 뭐. "간단한 경제 모형에서 부의 응집(Wealth condensation in a simple model of economy)"이라는 제목의 <피지카 에이> 논문과 이들 저자의 이름을 딴 부쇼-메자르 모형(Bouchaud-Mezard model)의 풀이에 관한 문제입니다. 이전에도 이 모형을 제가 소개한 적이 있습니다.

\(\frac{dw_i(t)}{dt}=\eta_i(t)w_i(t)+\sum_{j\neq i}J_{ij}w_j(t)- \sum_{j\neq i}J_{ji}w_i(t)\)

이겁니다. 자세한 설명은 이전 글을 참고하세요. 저자들은 평균장 어림으로 이 문제를 푸는데요, J를 모두 똑같다고 가정하고, 위 식을 모든 i에 대해 더하고 N으로 나눠주면 우변의 J 항들이 날라갑니다.

\(\frac{d\langle w\rangle(t)}{dt}=\frac{1}{N}\sum_i\eta_i(t)w_i(t)\)

노이즈인 η도 각 i마다 달라서 이걸 그냥 다 같다고 가정해도 되는건지 모르겠지만, 일단 해봅시다. 또한 노이즈는 평균이 m이고 분산이 2σ²이라고 합니다. 블라블라 풀어줍니다.

\(\langle w\rangle(t)=\langle w\rangle(0)\exp(mt)\)

이럴 줄 알았는데, 논문에서는 다른 답을 제시합니다.

\(\langle w\rangle(t)=\langle w\rangle(0)\exp[(m+\sigma^2)t]\)

이 두 결과의 차이는 노이즈를 어떻게 '해석'할 거냐의 차이에서 오는 것으로 보입니다. 두 가지 해석이 있는데 이토(Ito) 해석과 스트라토노비치(Stratonovich) 해석입니다. 이 얘기도 예전(2008년 12월)에 제 블로그에서 한 적이 있습니다. 그때 자세히 짚고 넘어가지 않았던 부분을 오늘 짚어보겠습니다.

일단 한국어로 풀어보면, 순간적으로 툭툭 생기는 노이즈가 우리가 다루는 변수에 영향을 줄텐데 노이즈 자체가 순간적으로 변하기 때문에 변수도 순간적으로 변하겠죠. 그렇다면 '연속적인' 미분방정식으로 씌어지는 변수를 노이즈가 가해지기 전의 값으로 쓸 건지, 노이즈가 가해진 후의 값으로 쓸 건지, 아니면 가해지기 전과 후의 평균으로 쓸 건지가 문제가 됩니다. 평균으로 하겠다는 게 스트라토노비치 해석이고 가해지기 전으로 쓰겠다는 게 이토 해석입니다. 이제 수식을 볼까요.

랑제방 방정식을 씁니다.

\(\frac{dy(t)}{dt}=A(y)+C(y)\eta(t)\)

여기서 노이즈 η는 평균이 0이고 분산이 Γ이라고 합시다. 어떤 시각 t부터 t + Δt 사이에 갑툭튀 노이즈가 하나 발생했다고 합시다. 위 식을 차분방정식 꼴로 다시 써줍니다.

\(y(t+\Delta t)-y(t)=A(y)\Delta t+C\left(\frac{y(t)+y(t+\Delta t)}{2}\right)\int_t^{t+\Delta t}\eta(t')dt'\)