"테일러 전개 문제2"의 두 판 사이의 차이
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<math>f(X(x;\epsilon))= f(X(x;0)) + [X(x;\epsilon)-X(x;0)]\frac{df(X(x;\epsilon))}{dx}\Big|_{\epsilon=0}+ \cdots</math> (식2) | <math>f(X(x;\epsilon))= f(X(x;0)) + [X(x;\epsilon)-X(x;0)]\frac{df(X(x;\epsilon))}{dx}\Big|_{\epsilon=0}+ \cdots</math> (식2) | ||
| − | 문제는 f를 한 번 미분할 때 X로 미분하느냐 x로 미분하느냐입니다. 사실 테일러 전개를 하는 대개의 경우 X(x)는 "x + 매우 작은 어떤 수(또는 함수)" 꼴이므로 '매우 작은 어떤 수'가 상수라면 위 두 식의 결과는 같아집니다. 그런데 그렇지 않은 경우가 문제가 되는 거지요. 위 식에서는 ε이 상수인 것처럼 썼는데 x의 함수일 수도 있습니다. 다음과 같은 예를 들어보겠습니다. | + | 문제는 f를 한 번 미분할 때 식1처럼 X로 미분하느냐 식2처럼 x로 미분하느냐입니다. 사실 테일러 전개를 하는 대개의 경우 X(x)는 "x + 매우 작은 어떤 수(또는 함수)" 꼴이므로 '매우 작은 어떤 수'가 상수라면 위 두 식의 결과는 같아집니다. 그런데 그렇지 않은 경우가 문제가 되는 거지요. 위 식에서는 ε이 상수인 것처럼 썼는데 앞글의 예처럼 x의 함수일 수도 있습니다. 여튼 일반적인 X(x)에 대해서 보면 식1이 |
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| + | 여튼 X와 x의 관계를 모르는 경우, 식2보다는 식1이 | ||
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| + | 다음과 같은 예를 들어보겠습니다. | ||
<math>f(x)=e^x,\ X(x;\epsilon)=x+\epsilon(x)</math> | <math>f(x)=e^x,\ X(x;\epsilon)=x+\epsilon(x)</math> | ||
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<math>e^{x+\epsilon(x)}=e^x\left[1+\epsilon(x)+\frac{1}{2}\epsilon(x)^2+\cdots\right]</math> | <math>e^{x+\epsilon(x)}=e^x\left[1+\epsilon(x)+\frac{1}{2}\epsilon(x)^2+\cdots\right]</math> | ||
| + | <math>e^{x+\epsilon(x)}&=&e^x\Big[1+\epsilon(x)(1+\epsilon'(x))_{\epsilon(x)=0}\\ {}&{}&+\frac{1}{2}\epsilon(x)^2[(1+\epsilon'(x))^2+\epsilon''(x)]_{\epsilon(x)=0}+\cdots\Big]</math> | ||
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| + | <math>f(x+\epsilon x/y,y+\delta)</math> | ||
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| + | [http://exactitude.tistory.com/874 앞글]에서 이걸 어떻게 전개해야 하느냐라는 문제가 있다고 했습니다. 일반적으로 다음처럼 쓸 수 있겠죠. | ||
| + | <math>f(X(x,y;\epsilon),Y(x,y;\delta))</math> | ||
문제는 테일러 전개를 할 때 이 f를 x로 미분해야 하는지, X로 미분해야 하는지입니다. 앞글에서는 변수가 하나뿐이었으므로 별다른 고민 없이 x로 미분해도 된다고 생각했는데 여기서는 두 개라 헷갈립니다. | 문제는 테일러 전개를 할 때 이 f를 x로 미분해야 하는지, X로 미분해야 하는지입니다. 앞글에서는 변수가 하나뿐이었으므로 별다른 고민 없이 x로 미분해도 된다고 생각했는데 여기서는 두 개라 헷갈립니다. | ||
2010년 1월 8일 (금) 22:33 판
앞글에서 얘기했던 테일러 전개 문제를 조금 다르게 써보려 합니다. 한 번 미분한 항까지만 좀더 일반적으로 써봅니다.
\(f(X(x;\epsilon))= f(X(x;0)) + [X(x;\epsilon)-X(x;0)]\frac{df(X(x;\epsilon))}{dX}\Big|_{\epsilon=0}+ \cdots\) (식1)
\(f(X(x;\epsilon))= f(X(x;0)) + [X(x;\epsilon)-X(x;0)]\frac{df(X(x;\epsilon))}{dx}\Big|_{\epsilon=0}+ \cdots\) (식2)
문제는 f를 한 번 미분할 때 식1처럼 X로 미분하느냐 식2처럼 x로 미분하느냐입니다. 사실 테일러 전개를 하는 대개의 경우 X(x)는 "x + 매우 작은 어떤 수(또는 함수)" 꼴이므로 '매우 작은 어떤 수'가 상수라면 위 두 식의 결과는 같아집니다. 그런데 그렇지 않은 경우가 문제가 되는 거지요. 위 식에서는 ε이 상수인 것처럼 썼는데 앞글의 예처럼 x의 함수일 수도 있습니다. 여튼 일반적인 X(x)에 대해서 보면 식1이
여튼 X와 x의 관계를 모르는 경우, 식2보다는 식1이
다음과 같은 예를 들어보겠습니다.
\(f(x)=e^x,\ X(x;\epsilon)=x+\epsilon(x)\)
식1을 이용하여 전개한 결과와 식2를 이용하여 전개한 결과(이건 앞글에서 한 방식이죠)가 다릅니다.
\(e^{x+\epsilon(x)}=e^x\left[1+\epsilon(x)+\frac{1}{2}\epsilon(x)^2+\cdots\right]\)
\(e^{x+\epsilon(x)}&=&e^x\Big[1+\epsilon(x)(1+\epsilon'(x))_{\epsilon(x)=0}\\ {}&{}&+\frac{1}{2}\epsilon(x)^2[(1+\epsilon'(x))^2+\epsilon''(x)]_{\epsilon(x)=0}+\cdots\Big]\)
\(f(x+\epsilon x/y,y+\delta)\)
앞글에서 이걸 어떻게 전개해야 하느냐라는 문제가 있다고 했습니다. 일반적으로 다음처럼 쓸 수 있겠죠.
\(f(X(x,y;\epsilon),Y(x,y;\delta))\)
문제는 테일러 전개를 할 때 이 f를 x로 미분해야 하는지, X로 미분해야 하는지입니다. 앞글에서는 변수가 하나뿐이었으므로 별다른 고민 없이 x로 미분해도 된다고 생각했는데 여기서는 두 개라 헷갈립니다.