"모듈라 형식(modular forms)"의 두 판 사이의 차이
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| − | + | * Finch, [http://www.people.fas.harvard.edu/~sfinch/csolve/frs.pdf Modular Forms on $SL_2(\mathbb{Z})$] | |
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2013년 8월 27일 (화) 01:19 판
개요
- 푸앵카레 상반평면에서 정의된 해석함수
- 모듈라 성질과 cusp에서의 푸리에전개를 가짐
- 별다른 언급이 없을 경우 \(q=e^{2\pi i\tau}\) 를 의미함
모듈라 성질
- weight 2k 인 모듈라 형식
- 모듈라 군(modular group)의 원소에 대하여 다음 조건을 만족시킴\[f \left( \frac{ a\tau +b}{ c\tau + d} \right) = (c\tau +d)^{2k} f(\tau)\]
푸리에 전개
- cusp에서도 해석함수의 성질을 갖도록 해주기 위한 조건\[f(\tau) = \sum_{n=0}^\infty a_n e^{2i\pi n\tau}\]
중요한 예
- even unimodular 격자의 세타함수
- 아이젠슈타인 급수(Eisenstein series)
- 판별식 (discriminant) 함수와 라마누잔의 타우 함수(tau function)
\[\Delta(\tau)=q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}=q-24q+252q^2+\cdots\]
구조 정리
(정리)
\(\mathbb{C}[E_4,E_6]=\oplus M_k\)
\(\{E_6^2, \Delta\}\)는 weight 12인 모듈라 형식의 기저가 된다.
메모
\[d(\frac{az+b}{cz+d})=\frac{(acz+ad-acz-bc)}{(cz+d)^2}dz=(cz+d)^{-2}dz\]
역사
관련된 항목들
- 아이젠슈타인 급수(Eisenstein series)
- 판별식 (discriminant) 함수와 라마누잔의 타우 함수(tau function)
- 자코비 세타함수
- 격자의 세타함수
- 헤케 연산자(Hecke operator)
수학용어번역
- modular - 대한수학회 수학용어집
사전 형태의 자료
리뷰논문, 에세이, 강의노트