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* 다음 변환 공식을 타원적분에 대한 란덴 변환이라 함.
 
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* 다음 변환에 의하여, 그 값이 변하지 않는다.
 
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:<math>(a,b) \mapsto (\frac{a+b}{2}, \sqrt {ab})</math>
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*  hypergeometric 급수와 타원 적분
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*  hypergeometric 급수와 타원 적분:<math>F(a,b,c;x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(a)_k (b)_k}{(c)_k k!}x^k</math> 로 정의하면, <math>K(\sqrt{x})=\frac{\pi}{2}F(\frac{1}{2},\frac{1}{2},1;x)</math><br>
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:<math>F(a,b,c;x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(a)_k (b)_k}{(c)_k k!}x^k</math> 로 정의하면, <math>K(\sqrt{x})=\frac{\pi}{2}F(\frac{1}{2},\frac{1}{2},1;x)</math>
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*  이 경우, 란덴변환은 다음과 같이 표현됨.:<math>F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;\frac{4x}{(1+x)^2})=(1+x)F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;x^2)</math><br>
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*  이 경우, 란덴변환은 다음과 같이 표현됨.
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* [[초기하급수(Hypergeometric series)]] 항목 참조<br>
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:<math>F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;\frac{4x}{(1+x)^2})=(1+x)F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;x^2)</math>
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* [[초기하급수(Hypergeometric series)]] 항목 참조
  
 
 
 
 
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==란덴변환과 산술 기하 평균==
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* 란덴변환을 통해, 타원적분과 [[산술 기하 평균 (arithmetic-geometric mean)]]의 다음과 같은 관계를 유도 가능
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:<math>K(k)=\frac{\pi}{2M(1,\sqrt{1-k^2})}</math>
  
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란덴변환을 통해, 타원적분과 AGM의 다음과 같은 관계가 유도 가능
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;증명
  
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<math>K(k)=\frac{\pi}{2M(1,\sqrt{1-k^2})}</math>
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란덴변환을 무한히 반복하면, 다음을 얻는다
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:<math>I(a,b)=\int _0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sqrt{a^2 \cos^2(\theta) + b^2 \sin^2(\theta)}} \, d\theta = \int _0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{M(a,b)} \, d\theta = \frac{\pi}{2 \,M(a,b)}</math>
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<math>b^2 = a^2 (1 - k^2)</math> 로 두면,
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:<math>I(a,b)=\frac{1}{a} \int _0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sqrt{1 - k^2 \sin^2(\theta)}} \, d\theta = \frac{1}{a} F\left( \frac{\pi}{2},k\right) = \frac{1}{a} K(k)</math>
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<math>a=1, b=\sqrt{1-k^2}</math> 이면
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:<math>K(k)=\frac{\pi}{2M(1,\sqrt{1-k^2})}</math> ■
  
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란덴변환을 무한히 반복하면,
 
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<math>I(a,b)=\int _0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sqrt{a^2 \cos^2(\theta) + b^2 \sin^2(\theta)}} \, d\theta = \int _0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\operatorname{AGM}(a,b)} \, d\theta = \frac{\pi}{2 \,\operatorname{AGM}(a,b)}</math><br>:<math>b^2 = a^2 (1 - k^2)</math> 로 두면,
 
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<math>I(a,b)=\frac{1}{a} \int _0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sqrt{1 - k^2 \sin^2(\theta)}} \, d\theta = \frac{1}{a} F\left( \frac{\pi}{2},k\right) = \frac{1}{a} K(k)</math>
 
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<math>a=1, b=\sqrt{1-k^2}</math> 이면:<math>K(k)=\frac{\pi}{2M(1,\sqrt{1-k^2})}</math>
 
  
 
 
 
 
  
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==관련된 항목들==
  
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==관련된 다른 주제들==
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* [[산술기하평균함수(AGM)와 파이값의 계산]]
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* [[렘니스케이트(lemniscate) 곡선의 길이와 타원적분]]
  
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* [[산술기하평균함수(AGM)와 파이값의 계산|AGM과 파이값의 계산]]
 
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* [[렘니스케이트(lemniscate) 곡선의 길이와 타원적분|lemniscate 적분]]
 
  
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==관련도서==
 
==관련도서==
  
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* [http://www.amazon.com/PI-AGM-Analytic-Computational-Complexity/dp/047131515X Pi and the AGM]<br>
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* Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein [http://www.amazon.com/PI-AGM-Analytic-Computational-Complexity/dp/047131515X Pi and the AGM]
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** Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein
 
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* http://www.amazon.com/s/ref=nb_ss_gw?url=search-alias%3Dstripbooks&field-keywords=
 
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==사전 참고자료==
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==사전 형태의 참고자료==
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Landen's_transformation
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Landen%27s_transformation
 
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==참고할만한 자료==
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==리뷰, 에세이, 강의노트==
  
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* [http://www.jstor.org/stable/2323302 Gauss, Landen, Ramanujan, the Arithmetic-Geometric Mean, Ellipses, π, and the Ladies Diary]<br>
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* Gert Almkvist and Bruce Berndt [http://www.jstor.org/stable/2323302 Gauss, Landen, Ramanujan, the Arithmetic-Geometric Mean, Ellipses, π, and the Ladies Diary] The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 95, No. 7 (Aug. - Sep., 1988), pp. 585-608
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** Gert Almkvist and Bruce Berndt
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* Manna, Dante, and Victor H. Moll. 2007. “A Simple Example of a New Class of Landen Transformation.” arXiv:0707.3911 [math]. http://arxiv.org/abs/0707.3911. Amer. Math. Monthly 114 (2007), 232–241
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** <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 95, No. 7 (Aug. - Sep., 1988), pp. 585-608
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* Dante V. Manna and Victor H. Moll [http://www.msri.org/communications/books/Book55/files/13landen.pdf Landen survey]
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* [http://arxiv.org/abs/0707.3911 A simple example of a new class of Landen transformations]<br>
 
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** D Manna, VH Moll
 
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** Amer. Math. Monthly 114 (2007), 232–241
 
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* [http://www.msri.org/communications/books/Book55/files/13landen.pdf Landen survey]<br>
 
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** Dante V. Manna and Victor H. Moll
 
 
** 287-319p from <em style="">Probability, Geometry and Integrable Systems</em> For Henry McKean's Seventy-Fifth Birthday Edited by Mark Pinsky and Björn Birnir
 
** 287-319p from <em style="">Probability, Geometry and Integrable Systems</em> For Henry McKean's Seventy-Fifth Birthday Edited by Mark Pinsky and Björn Birnir
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* http://www.msri.org/communications/books/Book55/files/13landen.pdf
 
 
[[분류:타원적분]]
 
[[분류:타원적분]]

2014년 1월 25일 (토) 23:46 판

버전1

  • 다음 변환 공식을 타원적분에 대한 란덴 변환이라 함.

\[K(\frac{2\sqrt{x}}{1+x})=(1+x)K(x)\]


 

버전2

  • 타원적분

\[I(a,b) = \int _0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\sqrt{a^2 \cos^2(\theta) + b^2 \sin^2(\theta)}} \, d \theta\]

  • 다음 변환에 의하여, 그 값이 변하지 않는다.

\[(a,b) \mapsto (\frac{a+b}{2}, \sqrt {ab})\] 즉, 다음이 성립한다 $$ I(a,b)=I(\frac{a+b}{2}, \sqrt {ab}) $$

 

버전3

  • hypergeometric 급수와 타원 적분

\[F(a,b,c;x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(a)_k (b)_k}{(c)_k k!}x^k\] 로 정의하면, \(K(\sqrt{x})=\frac{\pi}{2}F(\frac{1}{2},\frac{1}{2},1;x)\)

  • 이 경우, 란덴변환은 다음과 같이 표현됨.

\[F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;\frac{4x}{(1+x)^2})=(1+x)F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;x^2)\]

 

 

란덴변환과 산술 기하 평균

\[K(k)=\frac{\pi}{2M(1,\sqrt{1-k^2})}\]

증명

란덴변환을 무한히 반복하면, 다음을 얻는다 \[I(a,b)=\int _0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sqrt{a^2 \cos^2(\theta) + b^2 \sin^2(\theta)}} \, d\theta = \int _0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{M(a,b)} \, d\theta = \frac{\pi}{2 \,M(a,b)}\] \(b^2 = a^2 (1 - k^2)\) 로 두면, \[I(a,b)=\frac{1}{a} \int _0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sqrt{1 - k^2 \sin^2(\theta)}} \, d\theta = \frac{1}{a} F\left( \frac{\pi}{2},k\right) = \frac{1}{a} K(k)\] \(a=1, b=\sqrt{1-k^2}\) 이면 \[K(k)=\frac{\pi}{2M(1,\sqrt{1-k^2})}\] ■


 

관련된 항목들


관련도서

 

사전 형태의 참고자료

 

리뷰, 에세이, 강의노트

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