"란덴변환(Landen's transformation)"의 두 판 사이의 차이
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* 다음 변환에 의하여, 그 값이 변하지 않는다. | * 다음 변환에 의하여, 그 값이 변하지 않는다. | ||
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− | <math>(a,b) \mapsto (\frac{a+b}{2}, \sqrt {ab})</math> | + | 즉, 다음이 성립한다 |
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− | * hypergeometric 급수와 타원 적분:<math>F(a,b,c;x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(a)_k (b)_k}{(c)_k k!}x^k</math> 로 정의하면, <math>K(\sqrt{x})=\frac{\pi}{2}F(\frac{1}{2},\frac{1}{2},1;x)</math | + | :<math>F(a,b,c;x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(a)_k (b)_k}{(c)_k k!}x^k</math> 로 정의하면, <math>K(\sqrt{x})=\frac{\pi}{2}F(\frac{1}{2},\frac{1}{2},1;x)</math> |
− | * 이 경우, 란덴변환은 다음과 같이 표현됨.:<math>F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;\frac{4x}{(1+x)^2})=(1+x)F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;x^2)</math | + | * 이 경우, 란덴변환은 다음과 같이 표현됨. |
− | * [[초기하급수(Hypergeometric series)]] 항목 참조 | + | :<math>F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;\frac{4x}{(1+x)^2})=(1+x)F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;x^2)</math> |
+ | * [[초기하급수(Hypergeometric series)]] 항목 참조 | ||
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− | ==란덴변환과 | + | ==란덴변환과 산술 기하 평균== |
+ | * 란덴변환을 통해, 타원적분과 [[산술 기하 평균 (arithmetic-geometric mean)]]의 다음과 같은 관계를 유도 가능 | ||
+ | :<math>K(k)=\frac{\pi}{2M(1,\sqrt{1-k^2})}</math> | ||
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− | <math>K(k)=\frac{\pi}{2M(1,\sqrt{1-k^2})}</math> | + | 란덴변환을 무한히 반복하면, 다음을 얻는다 |
+ | :<math>I(a,b)=\int _0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sqrt{a^2 \cos^2(\theta) + b^2 \sin^2(\theta)}} \, d\theta = \int _0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{M(a,b)} \, d\theta = \frac{\pi}{2 \,M(a,b)}</math> | ||
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+ | :<math>I(a,b)=\frac{1}{a} \int _0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sqrt{1 - k^2 \sin^2(\theta)}} \, d\theta = \frac{1}{a} F\left( \frac{\pi}{2},k\right) = \frac{1}{a} K(k)</math> | ||
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− | + | * [[산술기하평균함수(AGM)와 파이값의 계산]] | |
+ | * [[렘니스케이트(lemniscate) 곡선의 길이와 타원적분]] | ||
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==관련도서== | ==관련도서== | ||
− | * [http://www.amazon.com/PI-AGM-Analytic-Computational-Complexity/dp/047131515X Pi and the AGM] | + | * Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein [http://www.amazon.com/PI-AGM-Analytic-Computational-Complexity/dp/047131515X Pi and the AGM] |
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− | ==사전 참고자료== | + | ==사전 형태의 참고자료== |
− | + | * http://en.wikipedia.org/wiki/Landen's_transformation | |
− | * http://en.wikipedia.org/wiki/Landen | ||
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− | == | + | ==리뷰, 에세이, 강의노트== |
− | * [http://www.jstor.org/stable/2323302 Gauss, Landen, Ramanujan, the Arithmetic-Geometric Mean, Ellipses, π, and the Ladies Diary] | + | * Gert Almkvist and Bruce Berndt [http://www.jstor.org/stable/2323302 Gauss, Landen, Ramanujan, the Arithmetic-Geometric Mean, Ellipses, π, and the Ladies Diary] The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 95, No. 7 (Aug. - Sep., 1988), pp. 585-608 |
− | + | * Manna, Dante, and Victor H. Moll. 2007. “A Simple Example of a New Class of Landen Transformation.” arXiv:0707.3911 [math]. http://arxiv.org/abs/0707.3911. Amer. Math. Monthly 114 (2007), 232–241 | |
− | + | * Dante V. Manna and Victor H. Moll [http://www.msri.org/communications/books/Book55/files/13landen.pdf Landen survey] | |
− | * [http://arxiv.org/abs/0707.3911 | ||
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− | * [http://www.msri.org/communications/books/Book55/files/13landen.pdf Landen survey] | ||
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** 287-319p from <em style="">Probability, Geometry and Integrable Systems</em> For Henry McKean's Seventy-Fifth Birthday Edited by Mark Pinsky and Björn Birnir | ** 287-319p from <em style="">Probability, Geometry and Integrable Systems</em> For Henry McKean's Seventy-Fifth Birthday Edited by Mark Pinsky and Björn Birnir | ||
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[[분류:타원적분]] | [[분류:타원적분]] |
2014년 1월 25일 (토) 23:46 판
버전1
- 제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)\[K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}\]
- 다음 변환 공식을 타원적분에 대한 란덴 변환이라 함.
\[K(\frac{2\sqrt{x}}{1+x})=(1+x)K(x)\]
버전2
- 타원적분
\[I(a,b) = \int _0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\sqrt{a^2 \cos^2(\theta) + b^2 \sin^2(\theta)}} \, d \theta\]
- 다음 변환에 의하여, 그 값이 변하지 않는다.
\[(a,b) \mapsto (\frac{a+b}{2}, \sqrt {ab})\] 즉, 다음이 성립한다 $$ I(a,b)=I(\frac{a+b}{2}, \sqrt {ab}) $$
버전3
- hypergeometric 급수와 타원 적분
\[F(a,b,c;x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(a)_k (b)_k}{(c)_k k!}x^k\] 로 정의하면, \(K(\sqrt{x})=\frac{\pi}{2}F(\frac{1}{2},\frac{1}{2},1;x)\)
- 이 경우, 란덴변환은 다음과 같이 표현됨.
\[F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;\frac{4x}{(1+x)^2})=(1+x)F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;x^2)\]
란덴변환과 산술 기하 평균
- 란덴변환을 통해, 타원적분과 산술 기하 평균 (arithmetic-geometric mean)의 다음과 같은 관계를 유도 가능
\[K(k)=\frac{\pi}{2M(1,\sqrt{1-k^2})}\]
- 증명
란덴변환을 무한히 반복하면, 다음을 얻는다 \[I(a,b)=\int _0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sqrt{a^2 \cos^2(\theta) + b^2 \sin^2(\theta)}} \, d\theta = \int _0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{M(a,b)} \, d\theta = \frac{\pi}{2 \,M(a,b)}\] \(b^2 = a^2 (1 - k^2)\) 로 두면, \[I(a,b)=\frac{1}{a} \int _0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sqrt{1 - k^2 \sin^2(\theta)}} \, d\theta = \frac{1}{a} F\left( \frac{\pi}{2},k\right) = \frac{1}{a} K(k)\] \(a=1, b=\sqrt{1-k^2}\) 이면 \[K(k)=\frac{\pi}{2M(1,\sqrt{1-k^2})}\] ■
관련된 항목들
관련도서
- Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein Pi and the AGM
사전 형태의 참고자료
리뷰, 에세이, 강의노트
- Gert Almkvist and Bruce Berndt Gauss, Landen, Ramanujan, the Arithmetic-Geometric Mean, Ellipses, π, and the Ladies Diary The American Mathematical Monthly, Vol. 95, No. 7 (Aug. - Sep., 1988), pp. 585-608
- Manna, Dante, and Victor H. Moll. 2007. “A Simple Example of a New Class of Landen Transformation.” arXiv:0707.3911 [math]. http://arxiv.org/abs/0707.3911. Amer. Math. Monthly 114 (2007), 232–241
- Dante V. Manna and Victor H. Moll Landen survey
- 287-319p from Probability, Geometry and Integrable Systems For Henry McKean's Seventy-Fifth Birthday Edited by Mark Pinsky and Björn Birnir