"Herglotz–Zagier 함수"의 두 판 사이의 차이

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F(x)&= \sum^{\infty}_{n=1} \left\{\frac{\Gamma^{\prime}(nx)}{\Gamma (nx)} -\log (nx)\right\} \frac{1}{n}\\
 
F(x)&= \sum^{\infty}_{n=1} \left\{\frac{\Gamma^{\prime}(nx)}{\Gamma (nx)} -\log (nx)\right\} \frac{1}{n}\\
&= \int_{0}^{\infty}(\frac{1}{1-e^{-t}}-\frac{1}{t})\log (1-e^{-xt})\, dt
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&= \int_{0}^{\infty}\left(\frac{1}{1-e^{-t}}-\frac{1}{t}\right)\log (1-e^{-xt})\, dt
 
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* 실 이차수체에 대한 [[크로네커 극한 공식]]을 얻는데 활용됨
 
* 실 이차수체에 대한 [[크로네커 극한 공식]]을 얻는데 활용됨
  
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==성질==
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* 반전공식
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F(x)+F\left( \frac{1}{x} \right) = -\frac{\pi^2}{6}(x+\frac{1}{x})-\frac{1}{2}\log^2(x)+C_1
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이 때 $C_1=1.45738783\cdots$는 상수
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F(x)-F(x-1)+F\left(\frac{x-1}{x} \right) =-\mbox{Li}_ 2 \left( \frac{1}{x} \right)+C_2
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이 때 $C_2=-0.91624015\cdots$는 상수
  
  

2013년 6월 2일 (일) 09:09 판

개요

  • 다음과 같이 정의된 함수 $F:\mathbb{R}_{+}\to \mathbb{R}$

$$ \begin{align} F(x)&= \sum^{\infty}_{n=1} \left\{\frac{\Gamma^{\prime}(nx)}{\Gamma (nx)} -\log (nx)\right\} \frac{1}{n}\\ &= \int_{0}^{\infty}\left(\frac{1}{1-e^{-t}}-\frac{1}{t}\right)\log (1-e^{-xt})\, dt \end{align} $$


성질

  • 반전공식

$$ F(x)+F\left( \frac{1}{x} \right) = -\frac{\pi^2}{6}(x+\frac{1}{x})-\frac{1}{2}\log^2(x)+C_1 $$ 이 때 $C_1=1.45738783\cdots$는 상수

$$ F(x)-F(x-1)+F\left(\frac{x-1}{x} \right) =-\mbox{Li}_ 2 \left( \frac{1}{x} \right)+C_2 $$ 이 때 $C_2=-0.91624015\cdots$는 상수


사전 형태의 자료


관련논문

  • Masri, Riad. 2004. “The Herglotz–Zagier Function, Double Zeta Functions, and Values of L-series.” Journal of Number Theory 106 (2) (June): 219–237. doi:10.1016/j.jnt.2004.01.004.
  • Zagier, Don. 1975. “A Kronecker Limit Formula for Real Quadratic Fields.” Mathematische Annalen 213 (2) (June 1): 153–184. doi:10.1007/BF01343950.