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==개요== | ==개요== | ||
* 자연수 $r$, $I=\{1\,\cdots, r\}$ | * 자연수 $r$, $I=\{1\,\cdots, r\}$ | ||
| − | * | + | * 복소수 $Q^{(a)}_{u}$, $u\in \mathbb{Z}_{\geq 0}$, $a\in I$에 대하여, 다음과 같은 점화식을 생각하자 |
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
\label{cf} | \label{cf} | ||
\left\{ | \left\{ | ||
\begin{array}{lll} | \begin{array}{lll} | ||
| − | Q^{(0)}_{ | + | Q^{(0)}_{u} =Q^{(r+1)}_{u} =1 & u\in \mathbb{Z}_{\geq 0} \\ |
| − | Q^{(a)}_{ | + | Q^{(a)}_{u}Q^{(a)}_{u+1}=1+Q^{(a-1)}_{u+1}Q^{(a+1)}_{u} & a\in I, u\in \mathbb{Z}_{\geq 0} |
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| − | * 아래의 그림은 $r=5$인 경우에 해당하며, $\left(Q^{(a)}_{1}\right)_{a\in I}$가 결정되면, 나머지 $Q^{(a)}_{ | + | * 아래의 그림은 $r=5$인 경우에 해당하며, $\left(Q^{(a)}_{1}\right)_{a\in I}$가 결정되면, 나머지 $Q^{(a)}_{u}$는 점화식 \ref{cf}로부터 얻어진다 |
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==성질== | ==성질== | ||
===주기성=== | ===주기성=== | ||
| − | * 각 $a\in I$에 대하여, $Q^{(a)}_{ | + | * 각 $a\in I$에 대하여, $Q^{(a)}_{u+(r+3)}=Q^{(a)}_{u}$이 성립한다 |
| + | ===정수 수열=== | ||
| + | * 모든 $Q^{(a)}_{u}$, $u\in \mathbb{Z}_{\geq 0}$, $a\in I$가 정수가 될 필요충분조건은 다음과 같다 | ||
| + | $$ | ||
| + | Q^{(a)}_{u}|\left(Q^{(a-1)}_{u}+Q^{(a+1)}_{u}\right) | ||
| + | $$ | ||
2013년 10월 25일 (금) 07:54 판
개요
- 자연수 $r$, $I=\{1\,\cdots, r\}$
- 복소수 $Q^{(a)}_{u}$, $u\in \mathbb{Z}_{\geq 0}$, $a\in I$에 대하여, 다음과 같은 점화식을 생각하자
\begin{equation} \label{cf} \left\{ \begin{array}{lll} Q^{(0)}_{u} =Q^{(r+1)}_{u} =1 & u\in \mathbb{Z}_{\geq 0} \\ Q^{(a)}_{u}Q^{(a)}_{u+1}=1+Q^{(a-1)}_{u+1}Q^{(a+1)}_{u} & a\in I, u\in \mathbb{Z}_{\geq 0} \end{array} \right. \end{equation}
- 아래의 그림은 $r=5$인 경우에 해당하며, $\left(Q^{(a)}_{1}\right)_{a\in I}$가 결정되면, 나머지 $Q^{(a)}_{u}$는 점화식 \ref{cf}로부터 얻어진다
- 점화식 \ref{cf}은 다음과 같은 배열이 $ad-bc=1$를 만족시키는 것으로 이해할 수 있다
예
성질
주기성
- 각 $a\in I$에 대하여, $Q^{(a)}_{u+(r+3)}=Q^{(a)}_{u}$이 성립한다
정수 수열
- 모든 $Q^{(a)}_{u}$, $u\in \mathbb{Z}_{\geq 0}$, $a\in I$가 정수가 될 필요충분조건은 다음과 같다
$$ Q^{(a)}_{u}|\left(Q^{(a-1)}_{u}+Q^{(a+1)}_{u}\right) $$
매스매티카 파일 및 계산 리소스
관련논문
- Conway, J. H., and H. S. M. Coxeter. 1973. “Triangulated Polygons and Frieze Patterns.” The Mathematical Gazette 57 (400) (June 1): 87–94. doi:10.2307/3615344.
- Conway, J. H., and H. S. M. Coxeter. 1973. “Triangulated Polygons and Frieze Patterns (Continued).” The Mathematical Gazette 57 (401) (October 1): 175–183. doi:10.2307/3615561.
- Coxeter, H. S. M. 1971. “Frieze Patterns.” Polska Akademia Nauk. Instytut Matematyczny. Acta Arithmetica 18: 297–310. https://eudml.org/doc/204992