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==개요==
 
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* 자연수 $r$, $I=\{1\,\cdots, r\}$
 
* 자연수 $r$, $I=\{1\,\cdots, r\}$
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* 복소수 $Q^{(a)}_{u}$, $u\in \mathbb{Z}_{\geq 0}$, $a\in I$에 대하여, 다음과 같은 점화식을 생각하자
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* 복소수 $T_{m}(u)$, $u\in \mathbb{Z}_{\geq 0}$, $m\in I$에 대하여, 다음과 같은 점화식을 생각하자
 
\begin{equation}
 
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\label{cf}
 
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\left\{
 
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\begin{array}{lll}
 
\begin{array}{lll}
−
Q^{(0)}_{u} =Q^{(r+1)}_{u} =1 & u\in \mathbb{Z}_{\geq 0} \\
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T_{0}(u) =T_{r+1}(u) =1 & u\in \mathbb{Z}_{\geq 0} \\
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Q^{(a)}_{u}Q^{(a)}_{u+1}=1+Q^{(a-1)}_{u+1}Q^{(a+1)}_{u} & a\in I, u\in \mathbb{Z}_{\geq 0}
+
T_{m}(u)T_{m}(u+1)=1+T_{m-1}(u+1)T_{m+1}(u) & m\in I, u\in \mathbb{Z}_{\geq 0}
 
\end{array}
 
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* 아래의 그림은 $r=5$인 경우에 해당하며, $\left(Q^{(a)}_{1}\right)_{a\in I}$가 결정되면, 나머지 $Q^{(a)}_{u}$는 점화식 \ref{cf}로부터 얻어진다
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* 아래의 그림은 $r=5$인 경우에 해당하며, $\left(T_{m}(1)\right)_{m\in I}$가 결정되면, 나머지 $T_{m}(u)$는 점화식 \ref{cf}로부터 얻어진다
 
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==성질==
 
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===주기성===
 
===주기성===
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* 각 $a\in I$에 대하여, $Q^{(a)}_{u+(r+3)}=Q^{(a)}_{u}$이 성립한다
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* 각 $m\in I$에 대하여, $T_{m}(u+(r+3))=T_{m}(u)$이 성립한다
  
 
===정수 수열===
 
===정수 수열===
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* 모든 $Q^{(a)}_{u}$, $u\in \mathbb{Z}_{\geq 0}$, $a\in I$가 정수가 될 필요충분조건은 다음과 같다
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* 모든 $T_{m}(u)$, $u\in \mathbb{Z}_{\geq 0}$, $m\in I$가 정수가 될 필요충분조건은 다음과 같다
 
$$
 
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Q^{(a)}_{u}|\left(Q^{(a-1)}_{u}+Q^{(a+1)}_{u}\right)
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T_{m}(u)|\left(T_{m-1}(u)+T_{m+1}(u)\right)
 
$$
 
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2013년 10월 25일 (금) 08:18 판

개요

  • 자연수 $r$, $I=\{1\,\cdots, r\}$
  • 복소수 $T_{m}(u)$, $u\in \mathbb{Z}_{\geq 0}$, $m\in I$에 대하여, 다음과 같은 점화식을 생각하자

\begin{equation} \label{cf} \left\{ \begin{array}{lll} T_{0}(u) =T_{r+1}(u) =1 & u\in \mathbb{Z}_{\geq 0} \\ T_{m}(u)T_{m}(u+1)=1+T_{m-1}(u+1)T_{m+1}(u) & m\in I, u\in \mathbb{Z}_{\geq 0} \end{array} \right. \end{equation}

  • 아래의 그림은 $r=5$인 경우에 해당하며, $\left(T_{m}(1)\right)_{m\in I}$가 결정되면, 나머지 $T_{m}(u)$는 점화식 \ref{cf}로부터 얻어진다

콕세터 프리즈1.png


  • 점화식 \ref{cf}은 다음과 같은 배열이 $ad-bc=1$를 만족시키는 것으로 이해할 수 있다

콕세터 프리즈5.png

예

콕세터 프리즈2.png


콕세터 프리즈3.png

콕세터 프리즈4.png


성질

주기성

  • 각 $m\in I$에 대하여, $T_{m}(u+(r+3))=T_{m}(u)$이 성립한다

정수 수열

  • 모든 $T_{m}(u)$, $u\in \mathbb{Z}_{\geq 0}$, $m\in I$가 정수가 될 필요충분조건은 다음과 같다

$$ T_{m}(u)|\left(T_{m-1}(u)+T_{m+1}(u)\right) $$


매스매티카 파일 및 계산 리소스


관련논문

  • Conway, J. H., and H. S. M. Coxeter. 1973. “Triangulated Polygons and Frieze Patterns.” The Mathematical Gazette 57 (400) (June 1): 87–94. doi:10.2307/3615344.
  • Conway, J. H., and H. S. M. Coxeter. 1973. “Triangulated Polygons and Frieze Patterns (Continued).” The Mathematical Gazette 57 (401) (October 1): 175–183. doi:10.2307/3615561.
  • Coxeter, H. S. M. 1971. “Frieze Patterns.” Polska Akademia Nauk. Instytut Matematyczny. Acta Arithmetica 18: 297–310. https://eudml.org/doc/204992
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