"Q-초기하급수의 점근 급수"의 두 판 사이의 차이

수학노트
둘러보기로 가기 검색하러 가기
9번째 줄: 9번째 줄:
 
* <math>a>0,b>0,c\in\mathbb{R}</math>라 두자
 
* <math>a>0,b>0,c\in\mathbb{R}</math>라 두자
 
* z>0는 방정식의 해 <math>1-z=az^{b}</math> 라 하자.
 
* z>0는 방정식의 해 <math>1-z=az^{b}</math> 라 하자.
−
*  다음 근사식이 성립함 '''[McIntosh1995]'''<br><math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a^nq^{\frac{b}{2}n^2+cn}}{(q)_n}\sim \frac{z^c}{\sqrt{{z+b(1-z)}}} \exp (-\frac{1}{\log q}\{\operatorname{Li}_2(az^{b})+\frac{b}{2}\log^2 z\})</math><br>
+
*  다음 근사식이 성립함 '''[McIntosh1995]'''<br><math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a^nq^{\frac{b}{2}n^2+cn}}{(q)_n}\sim \frac{z^c}{\sqrt{{z+b(1-z)}}} \exp (-\frac{1}{\log q}\{\operatorname{Li}_2(az^{b})+\frac{b}{2}\log^2 z\})</math> 또는<br>
  
−
 
+
<math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a^nq^{\frac{b}{2}n^2+cn}}{(q)_n}\sim \frac{z^c}{\sqrt{{z+b(1-z)}}} \exp (-\frac{1}{\log q}\{\operatorname{Li}_2(az^{b})+\frac{b}{2}\log^2 z\})</math>
  
 
 
 
 

2011년 10월 14일 (금) 10:39 판

이 항목의 수학노트 원문주소

 

 

개요
  • \(a>0,b>0,c\in\mathbb{R}\)라 두자
  • z>0는 방정식의 해 \(1-z=az^{b}\) 라 하자.
  • 다음 근사식이 성립함 [McIntosh1995]
    \(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a^nq^{\frac{b}{2}n^2+cn}}{(q)_n}\sim \frac{z^c}{\sqrt[[:틀:Z+b(1-z)]]} \exp (-\frac{1}{\log q}\{\operatorname{Li}_2(az^{b})+\frac{b}{2}\log^2 z\})\) 또는

\(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a^nq^{\frac{b}{2}n^2+cn}}{(q)_n}\sim \frac{z^c}{\sqrt[[:틀:Z+b(1-z)]]} \exp (-\frac{1}{\log q}\{\operatorname{Li}_2(az^{b})+\frac{b}{2}\log^2 z\})\)

 

예
  • A=1 (3,4) minimal model
    \(\sum_{n\geq 0}^{\infty}\frac{q^{n^2/2}}{(q)_n}\sim \exp(\frac{\pi^2}{12t}-\frac{t}{48})\)
    \(2\prod_{n=1}^{\infty}(1+q^n)=\sum_{n\geq 0}^{\infty}\frac{q^{n(n-1)/2}}{(q)_n}\sim \sqrt{2}\exp(\frac{\pi^2}{12t}+\frac{t}{24})\)
    \(\prod_{n=1}^{\infty}(1+q^n)=\sum_{n\geq 0}^{\infty}\frac{q^{n(n+1)/2}}{(q)_n}\sim \frac{1}{\sqrt{2}}\exp(\frac{\pi^2}{12t}+\frac{t}{24})\)
  • A=2 (2,5) minimal model
    \(\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2+n}} {(q;q)_n} \sim \sqrt\frac{2}{5+\sqrt{5}}\exp(\frac{\pi^2}{15t}+\frac{11t}{60})+o(1)\)
    \(\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2}} {(q;q)_n} \sim \sqrt\frac{2}{5-\sqrt{5}}\exp(\frac{\pi^2}{15t}-\frac{t}{60})+o(1)\)
  • A=1/2 (3,5) minimal model
    \(\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{\frac{n^2}{4}}} {(q;q)_n}\sim \frac{2}{\sqrt{5-\sqrt{5}}}\exp(\frac{\pi^2}{10t}-\frac{t}{40})+o(t^5)\)
    \(\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{\frac{n^2}{4}+\frac{n}{2}}} {(q;q)_n} \sim \frac{2}{\sqrt{5+\sqrt{5}}}\exp(\frac{\pi^2}{10t}+\frac{t}{40})+o(t^5)\)

 

 

 

역사

 

 

 

메모

 

 

 

관련된 항목들

 

 

수학용어번역

 

 

 

사전 형태의 자료

 

 

리뷰논문, 에세이, 강의노트
 

 

 

관련논문

 

 

관련도서
원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=Q-초기하급수의_점근_급수&oldid=2873"